Fresnelvergelijkingen

Gedeeltelijke breking en weerkaatsing van een enkele lichtgolf die van een optisch dunnere (links) naar een dichtere stof (rechts) loopt.

De Fresnelvergelijkingen of Wetten van Fresnel, ontdekt door Augustin-Jean Fresnel, beschrijven hoe licht breekt en weerkaatst als het op een grensvlak tussen stoffen met een verschillende brekingsindex valt.

Definities

Als licht een grensvlak ontmoet tussen stoffen met een verschillende brekingsindex (n₁ en n₂) kan zowel weerkaatsing als breking optreden.

Variabelen in de Fresnelvergelijkingen. Licht valt van linksboven op een verticaal grensvlak tussen twee stoffen met verschillende brekingsindices n₁ en n₂. Linksonder de weerkaatste bundel, rechtsonder de doorgaande, gebroken bundel.

In de bijgaande figuur treft een invallende lichtstraal PO in O het grensvlak tussen twee media (stoffen) met brekingsindex n₁ en n₂. Een deel van de straal wordt weerkaatst als de straal OQ en een ander deel gebroken als de straal OS. De hoeken die de invallende (i=invallend), weerkaatste (r=reflectie) en gebroken (t=transmissie) bundels maken met de normaal op het grensvlak worden aangeduid met respectievelijk θ_i, θ_r en θ_t. Het verband tussen die hoeken is de Wet van weerkaatsing en de Wet van Snellius.

Formules voor weerkaatsing en breking

De invallende energie (of per tijd vermogen) wordt verdeeld over de weerkaatste en gebroken bundels. De breukdelen van de energie in de weerkaatste en gebroken bundels worden aangeduid als respectievelijk de reflectiecoëfficiënt R en de transmissiecoëfficiënt T. We veronderstellen dat de stoffen niet-magnetisch zijn. Door behoud van energie geldt

$R+T=1\!$.

De waarden van R and T hangen af van de polarisatie van de invallende lichtstraal. Als het licht gepolariseerd is met de vector van het elektrisch veld haaks op het vlak van de bijgaande figuur (s-gepolariseerd), dan geldt voor de reflectiecoëfficiënt:

$R_{s}=\left[{\frac {\sin(\theta _{t}-\theta _{i})}{\sin(\theta _{t}+\theta _{i})}}\right]^{2}=\left[{\frac {n_{1}\cos(\theta _{i})-n_{2}\cos(\theta _{t})}{n_{1}\cos(\theta _{i})+n_{2}\cos(\theta _{t})}}\right]^{2}=\left[{\frac {n_{1}\cos(\theta _{i})-n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}}{n_{1}\cos(\theta _{i})+n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}}}\right]^{2}$

waarin θ_t berekend kan worden uit θ_i met de Wet van Snellius. De formule is vereenvoudigd met behulp van formules uit de goniometrie.

Voor invallende licht dat in het vlak van de bijgaande figuur gepolariseerd is (elektrische vector in het vlak van de figuur, p-polarisatie), geldt:

$R_{p}=\left[{\frac {\tan(\theta _{t}-\theta _{i})}{\tan(\theta _{t}+\theta _{i})}}\right]^{2}=\left[{\frac {n_{1}\cos(\theta _{t})-n_{2}\cos(\theta _{i})}{n_{1}\cos(\theta _{t})+n_{2}\cos(\theta _{i})}}\right]^{2}=\left[{\frac {n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}-n_{2}\cos(\theta _{i})}{n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}+n_{2}\cos(\theta _{i})}}\right]^{2}$

De bijbehorende transmissiecoëfficiënten T worden gegeven door T_s = 1 − R_s en T_p = 1 − R_p.

Voor ongepolariseerd invallende licht (een gelijk mengsel van s- en p-polarisaties), is de reflectiecoefficient R =  (R_s + R_p)/2.

Soortgelijke vergelijkingen gelden voor de verhoudingen van de coefficienten voor de elektrische veld-amplitudes: deze heten ook Fresnelvergelijkingen.

Brewsterhoek

Voor een bepaalde hoek bij een gegeven brekingsindex n₁ en n₂ is of R_p gelijk aan nul en wordt een p-polariseerde invallende lichtstraal geheel gebroken zonder weerkaatsing. Deze hoek staat bekend als de Brewsterhoek en ligt rond de 56° voor glas in lucht of vacuüm. Deze bewering is alleen juist als de brekingsindices van beide stoffen een reëel getallen zijn, zoals voor lucht en glas. Maar voor stoffen die licht absorberen, zoals metalen en halfgeleiders is n een [[complex getal] en wordt R_p in het algemeen niet nul.

Grenshoek

Als een lichtstraal van een dichter naar een dunner medium loopt (dat wil zeggen n₁ > n₂), dan wordt boven een een bepaalde kritieke hoek, de grenshoek, alle licht weerkaatst en wordt R_s = R_p = 1. Dit verschijnsel heet totale interne weerkaatsing. De grenshoek voor glas in lucht ligt bij 41°.

Grafieken voor het verloop van de reflectiecoëfficiënt als functie van de hoek van inval. Links het geval dat de invallende lichtstraal een dichter medium ontmoet. Rechts de grafiek voor het geval dat de lichtstraal uit een dichter medium aan het grensvlak met een dunner medium komt.

Haakse inval

Als het licht vrijwel haaks invalt op het grensvlak (θ_i ≈ θ_t ≈ 0) worden de reflectie- en transmissiecoëfficiënten gegeven door:

$R=R_{s}=R_{p}=\left({\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right)^{2}$

$T=T_{s}=T_{p}=1-R={\frac {4n_{1}n_{2}}{\left(n_{1}+n_{2}\right)^{2}}}$

Glas

Voor standaard glas is de reflectiecoëfficiënt ongeveer 0,04. De weerkaatsing van een ruit gebeurt zowel aan de voor- als achterkant, waarbij een deel van het licht heen en weer weerkaatst wordt tussen beide kanten. De gecombineerde reflectiecoëfficiënt hiervoor is 2R/(1 + R), als interferentie verwaarloosd kan worden.

Interferentie

Maar in de praktijk treedt interferentie op bij meervoudige weerkaatsing van licht tussen twee evenwijdige grensvlakken: de lichtstralen versterken en verzwakken elkaar zoals in een Fabry-Pérot-interferometer. Dit effect veroorzaakt de kleuren van olie op water en wordt toegepast in anti-reflectie coatings of optische filters.

Algemene formules

In dit artikel wordt verondersteld dat de permeabiliteit μ in beide stoffen gelijk is aan die voor vacuum, μ₀ . Bij benadering is dit juist voor de meeste dielectrische materialen. De algemene Fresnelvergelijkingen zijn ingewikkelder.

Zie ook

• Index-matching
• Fresneldiffractie
• Fresnelintegraal
• Fresnel-lantaarn
• Fresnellens
• Fresnel rhomb, Fresnels toestel om circulair gepolariseerd licht te maken [1]
• Fresnel zone
• Fresnel zone plaat
• Fresnelgetal
• Fresnel meesleping
• Weerkaatsing

Verwijzingen

• Hecht, Eugene (1987), Optics, 2nd ed.. Addison Wesley. ISBN 0-201-11609-X.

Externe links

• Fresnel Equations – Wolfram
• FreeSnell – Gratis software berekent de optische eigenschappen van multilayers.
• Thinfilm – Webformulier om de optische eigenschappen van dunne lagen (thin films) en multilayers te berekenen. (Reflectie- en transmissiecoëfficiënten, ellipsometrische parameters psi en delta)
• Webformulier om de hoeken en intensiteiten bij weerkaatsing en breking te berekenen voor een eenvoudig enkel grensvlak.
• ReflectionCoefficient.INFO – Berekening van de reflectiecoëfficiënt