Stelling van Cayley

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, zegt de stelling van Cayley dat elke groep G isomorf is met een ondergroep (deelgroep) van de symmetrische groep op G zelf. Ofwel,

\exists_{H\subseteq Sym(G)}:G\cong H.

Hierin betekent G\cong H dat G en H isomorf zijn.

Geschiedenis[bewerken]

Hoewel Burnside [1] de stelling toeschrijft aan Jordan [2], is volgens Eric Nummela[3] de juiste naam voor deze stelling : "de Stelling van Cayley". In zijn oorspronkelijk artikel uit 1854 [4], waarin hij het concept van een groep introduceerde, toonde Caley volgens Nummela aan dat de 'correspondentie' in de stelling een op een is, maar hij slaagde er niet om expliciet aan te tonen dat er sprake was van een homoformisme (en dus een isomorfisme). Nummela merkt op dat Cayley dit resultaat 16 jaar voor Jordan publiceerde.

Bewijs van de Stelling van Cayley[bewerken]

Laat \forall_{g\in G}:\varphi_g:G\rightarrow G:x\mapsto gx en laat verder H=\left\{\varphi_g|g\in G\right\}\subset Sym(G). Beschouw verder de transformatie T:G\rightarrow H:g\mapsto\varphi_g. We merken allereerst op dat alle elementen van H disjunct zijn en dat |H|=|G|. T is daarmee een bijectieve transformatie tussen G en H.

\forall_{x\in G}\forall_{g,g'\in G}:T(gg')(x)   \,
=\varphi_{gg'}(x)                                      \,
=x\mapsto gg'x                                         \,
=\left(x\mapsto gx\right)\circ\left(x\mapsto g'x\right)\,
=\varphi_g\circ\varphi_{g'}(x)                         \,
=\left(T(g)\circ T(g')\right)(x)

Ofwel, T is een homomorfisme. Omdat T een bijectief homomorfisme is, is het een isomorfisme en zijn G en H isomorf. Dus \exists_{H\subseteq Sym(G)}:G\approx H

Opmerking[bewerken]

Voor de definitie van \varphi_G is in dit bewijs gebruik gemaakt van de vermenigvuldiging van links met g, maar het bewijs klopt ook wanneer we voor vermenigvuldiging van rechts hadden gekozen.

Zie ook[bewerken]

Voetnoten[bewerken]

  1. (en) Burnside,William, Theory of Groups of Finite Order, Cambridge, 1911, 2de editie
  2. (fr) Jordan,Camille, Traite des substitutions et des equations algebriques, Gauther-Villars, Parijs, 1870
  3. (en) Nummela,Eric, Cayley's Theorem for Topological Groups, American Mathematical Monthly, vol 87, issue 3, 1980, 202-203
  4. (en) Cayley,Arthur, On the theory of groups as depending on the symbolic equation θn=1, Phil. Mag, vol 7, issue = 4, pages = 40-47, 1854