Stelling van Cayley

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, zegt de stelling van Cayley dat alle groepen G op isomorfisme na een ondergroep (deelgroep) van de symmetrische groep op G zelf zijn. Ofwel,

$\exists_{H\subseteq Sym(G)}:G\approx H$. Hierin betekent $G\approx H$ dat G en H isomorf zijn.

Geschiedenis

Toegeschreven aan Burnside aan Jordan , houdt Eric Nummela vol dat de standaard naam voor deze stelling -- "de Stelling van Cayley" -- de juiste is. In zijn oorspronkelijk artikel uit 1854 , waarin hij het concept van een groep introduceerde, toonde Caley volgens Nummela aan dat de 'correspondentie' in de stelling een op een is, maar hij slaagde er niet om expliciet aan te tonen dat er sprake was van een homoformisme (en dus een isomorfisme). Nummela merkt op dat Cayley dit resultaat 16 jaar voor Jordan publiceerde.

Bewijs van de Stelling van Cayley

Laat $\forall_{g\in G}:\varphi_g:G\rightarrow G:x\mapsto gx$ en laat verder $H=\left\{\varphi_g|g\in G\right\}\subset Sym(G)$. Beschouw verder de transformatie $T:G\rightarrow H:g\mapsto\varphi_g$. We merken allereerst op dat alle elementen van H disjunct zijn en dat $|H|=|G|$. T is daarmee een bijectieve transformatie tussen G en H.

$\forall_{x\in G}\forall_{g,g'\in G}:T(gg')(x)$$\, =\varphi_{gg'}(x)$$\, =x\mapsto gg'x$$\, =\left(x\mapsto gx\right)\circ\left(x\mapsto g'x\right)$$\, =\varphi_g\circ\varphi_{g'}(x)$$\, =\left(T(g)\circ T(g')\right)(x)$

Ofwel, T is een homomorfisme. Omdat T een bijectief homomorfisme is, is het een isomorfisme en zijn G en H isomorf. Dus $\exists_{H\subseteq Sym(G)}:G\approx H$

Opmerking

Voor de definitie van $\varphi_G$ is in dit bewijs gebruik gemaakt van de vermenigvuldiging van links met g, maar het bewijs klopt ook wanneer we voor vermenigvuldiging van rechts hadden gekozen.

Zie ook

• Groep (wiskunde),
• Arthur Cayley,
• Stelling van Lagrange (groepentheorie),
• Stelling van Burnside,
• Stellingen van Sylow,