Stellingen van Sylow

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, geven de stellingen van Sylow informatie over bepaalde deelgroepen van eindige groepen.

Neem een eindige groep G en een priemgetal p. Indien p geen deler is van de orde van G, dan zegt de stelling van Lagrange dat G geen p-deelgroep heeft. Veronderstel nu dat p wel de orde van G deelt. Een p-Sylow deelgroep van G is per definitie een maximale p-deelgroep van G. De stellingen van Sylow geven dan informatie over de p-Sylow deelgroepen van G.

De stellingen

Neem G en p zoals hierboven. Schrijf de orde van G als een product r pⁿ waarbij n en r natuurlijke getallen (n positief) zijn en p geen deler meer is van r.

• Bestaan: G heeft een p-Sylow deelgroep.
• Conjugatie: De p-Sylow deelgroepen zijn precies elkaars geconjugeerden.
• Aantal: Het aantal p-Sylow deelgroepen deelt r en is congruent aan 1 modulo p.

Opmerkingen bij de stellingen

• Er bestaan dus p-Sylow deelgroepen en ze zijn alle isomorf. Hun orde is in dit geval pⁿ.
• Een p-Sylow deelgroep is een normale deelgroep dan en slechts dan als het de enige p-Sylow deelgroep is.
• De stelling van Cauchy geeft het bestaan van elementen met orde p. Het bestaan van p-Sylow deelgroepen is een sterker resultaat.

Toepassingen

De stellingen kunnen worden gebruikt om informatie over de structuur van een eindige groep te verkrijgen. Bijvoorbeeld,

• Er bestaat precies een groep van orde 15, namelijk de cyclische groep van die orde. Dit kan als volgt worden nagegaan. Zij G een groep van orde 15. Door de congruentie- en delingseigenschap kunnen we besluiten dat G een unieke 3-Sylow deelgroep heeft. Analoog kunnen we besluiten dat G een unieke 5-Sylow deelgroep bevat. Deze deelgroepen zijn dan normale deelgroepen. Omdat hun ordes relatief priem zijn, moet G de directe som van deze cyclische groepen zijn. Dit beëindigt het bewijs.

• Een groep van orde 2 * 3⁴ is nooit enkelvoudig. Dit kan als volgt worden aangetoond. Een 3-Sylow-deelgroep is duidelijk een echte deelgroep. We tonen aan dat ze uniek is, en dus ook een (echte) normale deelgroep, wat het bewijs beëindigt. Het aantal 3-Sylow-deelgroepen n₃ is een deler van 2 en congruent aan 1 modulo 3. De enige oplossing voor dit stelsel is n₃ = 1.