Atoommodel van Bohr

Het atoommodel van Bohr is een gedateerde theorie die de opbouw van atomen beschrijft, die in 1913 door Niels Bohr geïntroduceerd werd. Bohr modificeerde het atoommodel van Rutherford door het invoeren van een cirkelvormige elektronenbanen met een welbepaalde energie. Het aantal mogelijke banen is hierbij beperkt: de energie is gekwantiseerd. Dit was gebaseerd op de theorie van Max Planck over de kwantisering van straling. Het model van Bohr is daarmee het eerste atoommodel met kwantumtheoretische aspecten. Voor zijn theorie kreeg Bohr in 1922 de Nobelprijs voor Natuurkunde.

In het atoommodel van Rutherford omgeven de lichte elektronen een positief geladen zware kern als een ongedefinieerde wolk. Bohr postuleerde dat de elektronen zich alleen in banen kunnen bevinden op specifieke afstanden van de kern en dat dergelijke elektronenbanen stabiel zijn. Volgens de klassieke natuurkunde zenden ladingen met een (centripetale) versnelling elektromagnetische straling uit, zodat een een elektron in een dergelijke baan steeds energie zou verliezen en dus niet stabiel zou zijn.

Het bohrmodel was baanbrekend omdat het bepaalde aspecten van de newtoniaanse fysica achterwege liet, en was voornamelijk succesvol omdat het een theoretische verklaring bood voor de rydbergformule, die het emissiespectrum van waterstofatomen beschrijft.

Het model is echter niet of amper toepasbaar voor andere atomen dan het waterstofatoom. Bovendien biedt de theorie geen verklaring voor de fijnstructuur van atoomspectra en het zeemaneffect, en gaan vaste elektronenbanen in tegen het principe van Heisenberg en het golfkarakter van elektronen. De afleiding van de bohrse banen vertrekt van een ad hoc kwantisatie van het impulsmoment, die niet te verklaren is en waarden oplevert die niet stroken met experimentele bepaling van het impulsmoment. De cirkelvormige banen, alsook de ellipsvormige banen uit het bohr-sommerfeldmodel, zijn bijgevolg volledig vervangen door de kwantummechanica, die in 1925 werd geïntroduceerd door Erwin Schrödinger.

Geschiedenis

In 1913 publiceerde Niels Bohr in het Philosophical Magazine in juli, september en november drie artikelen met de gemeenschappelijke titel On the Constitution of Atoms and Molecules. Het eerste artikel^[1] ging over het waterstofatoom, het tweede^[2] over willekeurige atomen, en het derde over de structuur van moleculen. Hij baseerde zijn werk op ideeën van Max Planck uit 1900 over kwantisering om een oplossing te vinden voor de stabiliteit van atomen. Zijn theorie gaf een redelijk adequate beschrijving van de eenvoudigste configuraties, zoals het waterstofatoom en het heliumion, maar schoot tekort voor complexere structuren, zelfs al voor het waterstofmolecuul en het heliumatoom. De tekortkomingen van het model van Bohr zouden later door de kwantummechanica worden opgeheven.

De kern van Bohrs Nobellezing in 1922 in de Zweedse Academie der Wetenschappen was een tweetal postulaten:

Among the conceivably possible states of motion in an atomic system there exist a number of so-called stationary states which, in spite of the fact that the motion of the particles in these states obeys the laws of classical mechanics to a considerable extent, possess a peculiar, mechanically unexplainable stability, of such a sort that every permanent change in the motion of the system must consist in a complete transition from one stationary state to another.

(Onder de denkbaar mogelijke toestanden van beweging in een atomair systeem is er een aantal zogeheten stationaire toestanden die, ondanks het feit dat de beweging van de deeltjes in deze gebieden in hoge mate gehoorzaamt aan de wetten van de klassieke mechanica, een bijzondere, mechanisch onverklaarbare stabiliteit bezitten, zodanig dat elke blijvende verandering in de beweging van het systeem moet bestaan uit een volledige overgang van de ene stationaire toestand in de andere.)

While in contradiction to the classical electromagnetic theory no radiation takes place from the atom in the stationary states themselves, a process of transition between two stationary states can be accompanied by the emission of electromagnetic radiation, which will have the same properties as that which would be sent out according to the classical theory from an electrified particle executing an harmonic vibration with constant frequency. This frequency $\nu$ has, however, no simple relation to the motion of the particles of the atom, but is given by the relation $h\,\nu =E'-E''$ , where $h$ is Planck’s constant, and $E'$ and $E''$ are the values of the energy of the atom in the two stationary states that form the initial and final state of the radiation process. Conversely, irradiation of the atom with electromagnetic waves of this frequency can lead to an absorption process,whereby the atom is transformed back from the latter stationary state to the former.

(Terwijl in tegenstelling tot de klassieke elektromagnetische theorie geen straling plaatsvindt van het atoom in de stationaire toestanden zelf, kan een proces van overgang tussen twee stationaire toestanden gepaard gaan met het uitzenden van elektromagnetische straling, die dezelfde eigenschappen zal hebben als die die zou worden uitgezonden volgens de klassieke theorie van een elektrisch geladen deeltje dat een harmonische trilling uitvoert met constante frequentie. Deze frequentie $\nu$ heeft echter geen eenvoudig verband met de beweging van de deeltjes van het atoom, maar wordt gegeven door de relatie $h\,\nu =E'-E''$ , waarin $h$ de constante van Planck is, en $E'$ en $E''$ de waarden zijn van de energie van het atoom in de beide stationaire toestanden die de begin- en eindtoestand vormen van het stralingsproces. Omgekeerd kan bestraling van het atoom met elektromagnetische golven van deze frequentie leiden tot een absorptieproces, waarbij het atoom teruggetransformeerd wordt uit de laatstgenoemde stationaire toestand naar de eerste.)

Het atoommodel

Het atoommodel van Bohr was gebaseerd op het atoommodel van Rutherford, dat stelt dat zeer lichte elektronen zich in rondom een kleine, positief geladen, zware kern bevinden. De manier waarop de elektronen rond de kern georganiseerd waren, werd niet door Rutherfor gespecifeerd. Om deze tekortkoming van het model op te heffen, formuleerde Bohr eenvoudigweg enkele postulaten.

De genoemde postulaten kunnen als volgt nader gespecificeerd worden:

Elektronen in een atoom bewegen onder invloed van de wet van Coulomb rond de kern in cirkelvormige banen.
Van deze banen is slechts een discreet aantal toegelaten, op specifieke afstanden van de kern. Deze banen, die stationaire toestanden genoemd worden, houden verband met bepaalde energiewaarden. Daarom heten de stationaire toestanden ook energieschillen of energieniveaus.
In een stationaire toestand bewegen de elektronen zonder straling op te wekken, dus zonder energieverlies.
Een elektron kan alleen van de ene stationaire toestand overgaan in een andere stationaire toestand. Zo'n overgang heet kwantumsprong en ligt buiten het geldigheidsbereik van de klassieke mechanica en elektrodynamica.
Bij een kwantumsprong van een toestand met energieniveau $E_{1}$ naar een andere toestand met energieniveau $E_{2}$ wint of verliest het elektron energie. Het energieverschil $\Delta {E}=E_{2}-E_{1}$ tussen de banen wordt als het positief is uitgezonden als een foton, en als het negatief is geleverd door de absorptie van een foton. De frequentie $\nu$ van het foton wordt volgens Planck bepaald door $\Delta {E}=E_{2}-E_{1}=h\cdot \nu$ , waarin $h$ de constante van Planck is.
Als het elektron in de begintoestand slechts langzaam beweegt en naar de energetisch naastgelegen toestand springt, is de frequentie van de uitgezonden of geabsorbeerde straling bij benadering gelijk aan de omloopfrequentie van het elektron, zoals in de klassieke theorie.

Schillen

Illustratie van de energieniveaus van de elektronen in atomen naar het atoommodel van Bohr.

Volgens Bohr en zijn onderzoekspartner Walther Kossel houden de elektronen van een atoom zich op in een aantal schillen rondom de kern, die een verschillend energieniveau hebben. Elke schil kan een beperkt aantal elektronen bevatten.

Schillen worden met toenemende afstand tot de kern aangeduid door de letters K, L, M, N, O, P en Q. Charles Glover Barkla bedacht deze benaming en begon te tellen bij K, omdat hij het voor mogelijk hield dat er nog schillen tussen K en de kern zouden zijn. Het rangnummer wordt het schilnummer $n$ genoemd.

Een schil met rangnummer $n$ kon volgens Bohr maximaal 8 elektronen bevatten, zoals aangegeven in de onderstaande tabel.^[3]

Elektronenconfiguraties zoals voorgesteld door Bohr in 1913
Element	Electronen per schil	Element	Electronen per schil	Element	Electronen per schil
₁H	1	₉F	4, 4, 1	₁₇Cl	8, 4, 4, 1
₂He	2	₁₀Ne	8, 2	₁₈Ar	8, 8, 2
₃Li	2, 1	₁₁Na	8, 2, 1	₁₉K	8, 8, 2, 1
₄Be	2, 2	₁₂Mg	8, 2, 2	₂₀Ca	8, 8, 2, 2
₅B	2, 3	₁₃Al	8, 2, 3	₂₁Sc	8, 8, 2, 3
₆C	2, 4	₁₄Si	8, 2, 4	₂₂Ti	8, 8, 2, 4
₇N	4, 3	₁₅P	8, 4, 3	₂₃V	8, 8, 4, 3
₈O	4, 2, 2	₁₆S	8, 4, 2, 2	₂₄Cr	8, 8, 4, 2, 2

Het is op te merken dat deze configuraties aanzienlijk verschillend zijn van de elektronenconfiguraties zoals we deze nu kennen in het aufbauprincipe.

Energie-emissie door een waterstofatoom

Uit Bohrs laatste postulaat blijkt wat er gebeurt als een atoom energie opneemt (bijvoorbeeld door verhitting): het elektron dat zich voor de verhitting in zijn grondtoestand bevindt (toestand met de laagste energie-inhoud) kan dan naar een hogere baan "springen" (van energieniveau 1 naar energieniveau 2). Deze aangeslagen toestand is echter niet stabiel waardoor het elektron terugvalt naar een lager gelegen baan. De overtollige energie is het energieverschil tussen beide energieniveaus en wordt terug uitgestraald in de vorm van elektromagnetische straling.

Bij analyse van dit licht door een prisma blijkt het (in tegenstelling tot zonlicht) uit een discreet lijnenspectrum te bestaan. Dit lijnenspectrum bestaat uit een reeks lijnen bij een beperkt aantal golflengten. Op de andere golflengten worden geen lichtdeeltjes uitgestraald. Zo ontstaat er voor elk atoom een specifiek lijnenspectrum, met een beperkt aantal uitgestraalde golflengten. Bevinden deze golflengten zich tussen de 350 en 700 nm, dan is het licht zichtbaar voor het menselijk oog.

Theoretisch zijn deze bevindingen een gevolg van de relatie tussen de energie en de golflengte. De energie nodig om een golf uit te zenden met frequentie $\nu$ kan men vinden via de relatie

E=h\cdot \nu

Hierin is $E$ de energie (in dit geval het energieverschil tussen energieniveau 2 en energieniveau 1) en $\nu$ de frequentie van de uitgezonden golf. $h$ is de constante van Planck, gelijk aan ongeveer $6{,}626\cdot 10^{-34}\ \mathrm {J\ s}$

Deze relatie komt voort uit de deeltje-golfdualiteit en levert ook een directe link tussen de energie $E$ en de golflengte $\lambda$ , aangezien de snelheid van de uitgezonden straling gelijk is aan de lichtsnelheid, gegeven door

c=\lambda \cdot \nu

Energieniveaus

Als er energie aan een atoom wordt toegevoegd, bijvoorbeeld doordat de stof verhit wordt, kunnen er elektronen naar een hogere energietoestand gaan. Dit heet een aangeslagen toestand. Het overgaan naar een hogere energietoestand heet excitatie. Het atoom is dan niet meer in de stabiele toestand.

Als er een elektron terugvalt naar een lager energieniveau, zendt het atoom energie uit in de vorm van elektromagnetische straling, bijvoorbeeld in de vorm van licht. Dat heet emissie van stralingsenergie.

De stralingsenergie die vrijkomt bij een bepaalde elektronensprong komt overeen met het energieverschil tussen deze energieniveaus. De waarden van de sprongen zijn typisch voor elk chemisch element. De stralingsenergie bepaalt de golflengte van de straling, en dus de kleur van het uitgestraalde licht.

Formules^[4]

Het impulsmoment $L$ van het elektron wordt volgens Bohrs postulaten gekwantiseerd volgens:

L=m_{\mathrm {e} }vr=n\hbar

waarbij

n=1,2,3,...

met $m_{\mathrm {e} }$ de massa van het elektron en $v$ de snelheid van het elektron in een cirkelvormige baan met straal $r$ , en $\hbar =h/2\pi$ waarbij $h$ de constante van Planck is.

De coulombkracht is de centripetale kracht die het elektron in zijn baan houdt:

{\frac {m_{\mathrm {e} }v^{2}}{r}}={\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}

met $Z$ het atoomnummer (de relatieve kernlading) en $\varepsilon _{0}$ de elektrische constante.

De combinatie van bovenstaande twee uitdrukkingen levert de straal van de elektronenbanen als:

r=a_{0}{\frac {n^{2}}{Z}}

met

a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{\mathrm {e} }e^{2}}}

De constante $a_{0}$ is gekend geworden als de bohrstraal en bedraagt ca. 52,9 pm. Dit betekent voor de kleinste baan (n = 1) in een waterstofatoom (Z = 1) dat het elektron op een vaste afstand van ongeveer 52,9 pm rond de kern beweegt.

De snelheid is dan gegeven door:

v={\frac {Z}{n}}{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar }}

In het waterstofatoom beweegt het elektron in de kleinste baan met een constante snelheid van ongeveer 2,2·10⁶ m/s, ongeveer 1/137ste van de lichtsnelheid.

De energie bij een bepaalde baan is de som van de kinetische energie

E_{\mathrm {kin} }={\frac {1}{2}}m_{\mathrm {e} }v^{2}

en de potentiële energie

E_{\mathrm {pot} }={\frac {-Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}

zodat uit bovenstaande vergelijkingen gevonden wordt:

E=-{\frac {Z^{2}}{n^{2}}}{\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{2}}}

Voor de grondtoestand (n = 1) van het waterstofatoom (Z = 1) bedraagt E ongeveer −13,6 eV.

Wanneer het elektron overgaat van een baan met n = n₁ naar een baan met n = n₂, en daarbij een foton met energie E = hν wordt geëmitteerd, geldt volgens behoud van energie:

h\nu =\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right){\frac {Z^{2}m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{2}}}

Via c = λν kan geschreven worden:

{\frac {1}{\lambda }}=\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right){\frac {Z^{2}m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}

wat precies overeenkomt met de rydbergformule. Het bohrmodel is dus in staat het emissiespectrum van waterstofatomen te verklaren.

Experimentele basis

Rutherfordverstrooiing

Niels Bohr werkte bij Ernest Rutherford en was dus vertrouwd met de Geiger-Marsdenexperimenten. Deze experimenten waarbij alfadeeltjes op een dunne goudfolie geprojecteerd werden, leidde tot Rutherfords voorstelling van een atoom als een centrale, zware, positief geladen kern met elektronen daaromheen. Dit is ook het uitgangspunt in het bohrmodel.

Emissiespectra

Bij verhitting in een vlam geeft elk element een typische lichtkleur. Bij natrium is dit geel, bij calcium baksteenrood en bij koper is dit groen. De geel-oranjeachtige kleur is bekend van de verlichting langs wegen met natriumdamp-lampen. De straling die door deze stoffen wordt uitgezonden, kan verder bestudeerd worden door de straling door een prisma te sturen. Men ziet men dan het zogenaamd emissiespectrum, bestaande uit lijntjes met verschillende kleuren. Nu gebruikt men de emissiespectra onder meer om de samenstelling van stoffen te bepalen via atomaire-emissiespectrometrie.

Johann Jakob Balmer onderzocht de emissielijnen van waterstof en Johannes Rydberg breidde zijn werk uit door het emissiespectrum van de alkalimetalen te onderzoeken. Rydberg kwam zo tot een empirische vergelijking voor het golfgetal, nu gekend als de rydbergformule.

Bohr slaagde erin om deze formule van Rydberg en dus de karakteristieke vlamkleur van enkele elementen theoretisch te verklaren vanuit zijn atoommodel. Volgens de beschrijving van Bohr komt elk lijntje in een emissiespectrum komt overeen met een bepaalde energie, en dus met een bepaalde overgang tussen twee elektronenschillen. Zo geeft een elektron uit een natriumatoom dat terugvalt van de N-schil naar de M-schil, de bekende gele kleur die natriumlampen uitstralen.

Na 1913

Verdere verfijning

Het atoommodel van Sommerfeld (1916) is een uitbreiding van bohrmodel. Sommerfeld liet ook ellipsvormige banen toe, naast de cirkels van Bohr, en incorporeerde de speciale relativiteitstheorie om nauwkeurigere waarden voor de energie te bekomen.^[5] Hierdoor kon bijvoorbeeld de fijnstructuur in het emissiespectrum van waterstof verklaard worden.

Voor andere atomen dan waterstof werkte Walther Kossel met Bohr aan het schillenmodel. Irving Langmuir was de eerste die slechts twee elektronen toeliet in de eerste schil en acht in de volgende.^[6] In 1921 deed Bohr nog een poging om zijn atoommodel bij te stellen om alle elementen in het periodiek systeem.^[7] Het schillenmodel kon de opbouw van het periodiek systeem op een kwalitatieve manier verklaren. Maar kwantitatief heeft het bohrmodel enkel succes gekend bij het waterstofatoom en ionen als He⁺ en Li²⁺.

Onderbouwing (?)

In 1924 formuleerde Louis-Victor de Broglie de hypothese dat materie zich als een golf gedraagt (zie golf-deeltjedualiteit) en vond dat de golflengte van een zo'n materiegolf gegeven is door:

\lambda ={\frac {h}{p}}

Voor het elektron in het bohrmodel betekent dit dat de omtrek van de bohrse baan een geheel keer golflengte van het elektron is:

\lambda ={\frac {2\pi r}{n}}

De kwantisatie die Bohr ad hoc invoerde leek dus verklaard te worden als een fenomeen van staande golven.

Verwerping

Het succes van het bohrmodel was echter snel over, want in 1925 ontwikkelden Werner Heisenberg en Erwin Schrödinger de kwantummechanica, die het bohrmodel volledig ontkrachtte. Het golfkarakter van materie wordt door de schrödingervergelijking beschreven waaruit de kwantisatie natuurlijk volgt en niet ad hoc moet geïntroduceerd worden.

De positie van het elektron kan niet met zekerheid worden vastgesteld (zie onzekerheidsprincipe) en planeetachtige banen zijn dus compleet onmogelijk. (Ze waren ook al in strijd met de wetten van Maxwell.) De locatie van het elektron is enkel als een kansverdeling te zien (zie borninterpretatie). In een waterstofatoom is de kans wel maximaal om het elektron op een afstand van 52,9 pm te vinden, waar ook de bohrse baan zich bevond. Waar volgens Bohr het waterstofatoom een plat ringetje is, voorspelt de kwantummechanica de correcte bolvormige structuur van het atoom.

De energieniveaus in waterstof zoals berekend door Bohr komen perfect overeen met de waarden die Schrödinger vond. Voor het impulsmoment daarentegen geldt $L=\hbar {\sqrt {l(l+1)}}$ en niet $L=n\hbar$ zoals Bohr postuleerde.

Het model van Bohr faalde om de energieniveaus van andere atomen dan het waterstofatoom te berekenen en de emissiespectra algemeen te verklaren en kon geen enkel inzicht bieden in de elektronenstructuur van moleculen. De schrödingervergelijking is daarentegen neer te schrijven voor elk atoom en molecuul en kan (benaderend) worden opgelost via computationele methoden.

Nalatenschap

Wetenschappelijk is het bohrmodel reeds 100 jaar achterhaald. Het werk van Bohr wordt als historisch erg waardevol beschouwd gezien het de eerste atoomtheorie met kwantisering was en zo een aanloop vormde tot het hedendaags atoommodel. De voorstelling van een atoom als een kern met ellipsvormige banen eromheen is in het collectief geheugen ingeprent. Het model wordt ook als pictogram voor kernenergie gebruikt (bijv. in het logo van het Internationaal Atoomenergieagentschap), ook al heeft de elektronenstructuur hier niets mee te maken. Het televisieprogramma The Big Bang Theory heeft het bohrmodel als logo. Omwille van zijn simpliciteit wordt het model nog steeds onderwezen in het voortgezet onderwijs, ondanks de wetenschappelijke consensus dat elektronen niet op banen bewegen.

Zie ook

Bronnen, noten en/of referenties

↑ http://web.ihep.su/dbserv/compas/src/bohr13/eng.pdf. Gearchiveerd op 13 november 2021.
↑ http://web.ihep.su/dbserv/compas/src/bohr13b/eng.pdf. Gearchiveerd op 13 november 2021.
↑ Bohr, N. (1913). On the Constitution of Atoms and Molecules, Part II. Systems containing only a Single Nucleus. Philosophical Magazine 26: 476–502.
↑ (en) N. Bohr (1913) - On the constitution of atoms and molecules, Philosophical Magazine Series, 26 (151), pp. 1-25
↑ Sommerfeld, Arnold (1919). Atombau und Spektrallinien'. Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig. ISBN 978-3-87144-484-5.
↑ Langmuir, Irving (June 1919). The Arrangement of Electrons in Atoms and Molecules. Journal of the American Chemical Society 41 (6): 868–934. DOI: 10.1021/ja02227a002.
↑ Kragh, Helge (1 January 1979). Niels Bohr's Second Atomic Theory. Historical Studies in the Physical Sciences 10: 123–186. DOI: 10.2307/27757389.

Zie de categorie Bohr model van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.

[1] ttp://web.ihep.su/dbserv/compas/src/bohr13/eng.pdf. Gearchiveerd op 13 november 2021.

[2] ttp://web.ihep.su/dbserv/compas/src/bohr13b/eng.pdf. Gearchiveerd op 13 november 2021.

[Bohr_1913-3] Bohr, N. (1913). On the Constitution of Atoms and Molecules, Part II. Systems containing only a Single Nucleus. Philosophical Magazine 26: 476–502.

[4] (en) N. Bohr (1913) - On the constitution of atoms and molecules, Philosophical Magazine Series, 26 (151), pp. 1-25

[Sommerfeld-5] Sommerfeld, Arnold (1919). Atombau und Spektrallinien'. Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig. ISBN 978-3-87144-484-5.

[6] Langmuir, Irving (June 1919). The Arrangement of Electrons in Atoms and Molecules. Journal of the American Chemical Society 41 (6): 868–934. DOI: 10.1021/ja02227a002.

[Kragh19792-7] Kragh, Helge (1 January 1979). Niels Bohr's Second Atomic Theory. Historical Studies in the Physical Sciences 10: 123–186. DOI: 10.2307/27757389.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]