Cirkel van Apollonius

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Een cirkel van Apollonius

Een cirkel van Apollonius is de meetkundige plaats van punten in het vlak bij gegeven punten en zodat en een vaste verhouding hebben, ofwel voor vaste

Deze alternatieve beschrijving voor een cirkel is genoemd naar de Griekse astronoom en meetkundige Apollonius van Perga.

Cartesische coördinaten[bewerken | brontekst bewerken]

Nemen we in de oorsprong van een cartesisch assenstelsel en in , dan volgt dat

,

hetgeen te vereenvoudigen is tot

,

en vervolgens te herschrijven is tot

,

Het middelpunt van de cirkel heeft dus coördinaten en de cirkel heeft straal

Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

  • Voor is de cirkel ontaard tot de middelloodlijn van
  • Zijn en de snijpunten van de cirkel met de lijn dan geldt voor ieder ander punt van de cirkel dat en de bissectrices van driehoek zijn.

In een driehoek[bewerken | brontekst bewerken]

In een driehoek worden, vanwege de tweede genoemde eigenschap, de cirkels door een hoekpunt en door de snijpunten van de bissectrices door dat hoekpunt met de overstaande zijde de cirkels van Apollonius van die driehoek genoemd. Zij snijden elkaar in de isodynamische punten. De middelpunten van deze cirkels liggen op de trilineaire poollijn van het punt van Lemoine. Elk van deze cirkels staat loodrecht op de omgeschreven cirkel.