Cirkelprobleem van Gauss

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de wiskunde is het cirkelprobleem van Gauss het probleem van het bepalen hoeveel roosterpunten er binnen een cirkel liggen, die gecentreerd is op de oorsprong en met straal r. De eerste geslaagde poging tot een oplossing kwam van Carl Friedrich Gauss, vandaar de naam.

Het probleem[bewerken]

Beschouw een cirkel in met centrum in de oorsprong en straal . Het cirkelprobleem van Gauss vraagt hoeveel punten er binnen deze cirkel van de vorm liggen,met en beide gehele getallen. Aangezien de vergelijking van deze cirkel in Cartesiaanse coördinaten wordt gegeven door

,

is de vraag equivalent met de vraag hoeveel paren gehele getallen er zijn waarvoor

Voor bijvoorbeeld liggen de 13 paren binnen de cirkel.

Voor zijn de gevraagde aantallen

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317[1].

Benadering[bewerken]

Het is gemakkelijk in te zien dat , namelijk ongeveer gelijk aan de oppervlakte van de cirkel. De oppervlakte is immers het aantal eenheidsvierkantjes, en elk vierkantje bevat in doorsnee één roosterpunt.

Exacte formule[bewerken]

De waarde van kan gegeven worden door verschillende reeksen. Met behulp van de entier kan geschreven worden:[2]

Een veel eenvoudiger formule maakt gebruik van het aantal manieren om te schrijven als de som van twee kwadraten. Dan is:[3]

Externe link[bewerken]