Conjugatie (groepentheorie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de relatie geconjugeerde een equivalentierelatie op een groep, die de groep ontbindt in conjugatieklassen. De elementen van een conjugatieklasse hebben zo veel overeenkomsten, dat een nadere bestudering van deze conjugatieklassen belangrijke inzichten in de structuur van de niet-abelse groepen oplevert. Bij abelse groepen zijn conjugatieklassen van ondergeschikt belang, omdat elk element een eigen conjugatieklasse vormt.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

In de groep heet het element geconjugeerd met het element als er een element is zodanig dat

Twee ondergroepen van een groep heten geconjugeerd als er een groepsisomorfisme tussen hen bestaat. Zo zijn de meetkundige symmetriegroepen van een star lichaam voor en na verplaatsing en/of draaiing geconjugeerd. De symmetrie-eigenschappen van het object zelf worden gerepresenteerd door de conjugatieklasse.

Equivalentierelatie[bewerken | brontekst bewerken]

De relatie geconjugeerd is een equivalentierelatie, immers:

  • (Reflexiviteit) Elke is geconjugeerd met zichzelf
  • (Symmetrie) Als geconjugeerd is met (), is ook geconjugeerd met ().
  • (Transitiviteit) Als geconjugeerd met () en is geconjugeerd is met (), is ook geconjugeerd met ().

Voorbeeld[bewerken | brontekst bewerken]

De symmetrische groep , die bestaat uit 24 permutaties van 4 elementen, heeft 5 conjugatieklassen. In cykelnotatie zijn de conjugatieklassen:

  • de identieke (1 element):
  • paarverwisseling, transpositie (6 elementen):
  • drie verwisselen (8 elementen):
  • vier verwisselen (6 elementen):
  • twee keer twee verwisselen (3 elementen):

Aantal conjugatieklassen in de symmetrische groep, en aantal elementen per conjugatieklasse[bewerken | brontekst bewerken]

Het aantal conjugatieklassen in de symmetrische groep is gelijk aan de partitiefunctie van .

Als van een conjugatieklasse elementen die op zichzelf worden afgebeeld, worden geteld als cykel van lengte 1, dan is het aantal elementen van die conjugatieklasse

,

waarin het aantal cykels is met lengte , en het aantal verschillende lengtes van de cykels.

Dit is als volgt te beredeneren. Per conjugatieklasse kan iedere rij van verschillende elementen (waarvan er zijn) opgedeeld worden overeenkomstig die conjugatieklasse, bijvoorbeeld bij de klasse "twee verwisselen" van door de eerste twee elementen van de rij te bestemmen voor de verwisseling. De factor compenseert voor dubbeltelling van verwisselde even lange cykels, en de factor voor dubbeltelling van cyclische verwisseling van de elementen in een cykel.

Bijvoorbeeld heeft bij de symmetrische groep de conjugatiegroep waarbij twee elementen verwisseld worden (en twee dus niet) elementen.

Zie ook[bewerken | brontekst bewerken]