Cyclotomisch veld

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een cyclotomisch veld (Belgische term) of cyclotomisch lichaam (Nederlandse term) een getallenlichaam, dat wordt verkregen door een complexe primitieve eenheidswortel toe te voegen aan Q, het lichaam/veld van de rationale getallen.

Definitie[bewerken]

Zij n een natuurlijk getal groter dan 2. Het n-de cyclotomische lichaam/veld Qn) wordt verkregen door een primitieve n-de eenheidswortel ζn aan de rationale getallen toe te voegen. Een n-de eenheidswortel heet primitief als alle andere complexe n-de eenheidswortel geschreven kunnen worden als (natuurlijke) machten van de oorspronkelijke.

Uitbreidingsgraad[bewerken]

Als p een priemgetal is, dan volgt uit het criterium van Eisenstein dat Qp) een uitbreiding van graad p–1 is over de rationale getallen. Algemener geldt dat voor willekeurige n > 2 de graad van de uitbreiding gelijk is aan de Euler-indicator van n.

Voorbeeld[bewerken]

Door aan de rationale getallen de imaginaire eenheid i toe te voegen (een primitieve vierdemachtswortel van 1) ontstaat het lichaam/veld \Q(i). De graad van de uitbreiding is \varphi(4)=2. Dit is ook gemakkelijk rechtstreeks vast te stellen doordat de polynoom x^2+1 irreducibel is.

Historisch belang[bewerken]

De cyclotomische lichamen/velden hebben een cruciale rol in de ontwikkeling van de abstracte algebra en de getaltheorie gespeeld, dit vanwege hun relatie met de laatste stelling van Fermat. Het was in het proces van zijn diepe onderzoekingen naar de rekenkunde van de cyclotomische velden (voor priemgetal n) - of om preciezer te zijn, vanwege het falen van het uniek factorisatiedomein in hun ring van de gehele getallen - dat Ernst Kummer het concept van een ideaal getal voor het eerst introduceerde en zijn beroemde Kummer-congruentie bewees.

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]