Enkelvoudig samenhangende ruimte

In de algebraïsche topologie, een onderdeel van de wiskunde, is een enkelvoudig samenhangende ruimte ruwweg een ruimte zonder gaatjes en zonder losse stukken.

Definitie

Beschouw een wegsamenhangende (boogsamenhangende) topologische ruimte X. Deze ruimte is enkelvoudig samenhangend indien elke lus nulhomotoop is, dat wil zeggen dat indien elke lus homotoop is met een punt. De enkelvoudige samenhangendheid van X kan ook worden uitgedrukt in termen van fundamentaalgroepen: X is enkelvoudig samenhangend als en slechts als de fundamentaalgroep van X triviaal is.

Voorbeelden en tegenvoorbeelden

Voorbeelden van enkelvoudig samenhangende ruimten:

Het gewone vlak.
De sfeer.

Een sfeer is enkelvoudig samenhangend omdat elke lus op het oppervlak kan worden samengetrokken tot een punt.

Voorbeelden van ruimten die niet enkelvoudig samenhangend zijn:

Het doorprikte vlak, i.e. het vlak met één punt verwijderd. Dit is intuïtief wel duidelijk, maar het bewijs voor deze bewering is niet helemaal triviaal.
De cirkel.

... maar ...

De driedimensionale Euclidische ruimte met daaruit een punt verwijderd, is wel enkelvoudig samenhangend.

Toepassingen

In de algebraïsche topologie worden ruimten met niet-triviale homotopie bestudeerd aan de hand van hun universele overdekkingsruimten. De belangrijkste eigenschap van deze ruimten, is dat universele overdekkingsruimten zelf een triviale homotopie hebben, of nog, dat ze enkelvoudig samenhangend zijn.

In de complexe analyse geeft de afbeeldingstelling van Riemann een classificatie van de enkelvoudig samenhangende open delen van het complexe vlak, op biholomorfe equivalentie na.

In de complexe analyse wordt integratie van functies langs gesloten paden in enkelvoudig samenhangende delen erg eenvoudig. Simpel uitgedrukt: als een differentieerbaar gesloten pad nulhomotoop is, dan is de lijnintegraal van een analytische functie langs dat pad, gelijk aan nul.

Zie ook