Pad (topologie)

De punten, die door een pad van A naar B in R² worden afgelegd. Verschillende paden kunnen echter dezelfde verzameling punten afleggen.

In de topologie, een onderdeel van de wiskunde, is een pad door een topologische ruimte X een continue afbeelding f van het eenheidsinterval I = [0,1] op X

f : I → X.

Het beginpunt van het pad is f(0) en het eindpunt is f(1). Men spreekt vaak van "een pad van x naar y", waarbij x en y de begin- en eindpunten van het pad zijn. Merk op dat een pad niet alleen een deelverzameling van X is, die op een kromme lijkt, maar dat het pad ook een parametrisatie kent. De afbeeldingen f(x) = x en g(x) = x² vertegenwoordigen bijvoorbeeld twee verschillende paden van 0 naar 1 op de reële getallenlijn.

Een lus in een ruimte X kan als een continue afbeelding f : I → X worden beschouwd waar f(0) = f(1), of als een continue afbeelding van de eenheidscirkel S¹ op X

f : S¹ → X.

Dit is omdat S¹ als een quotiënt van I kan worden beschouwd onder de identificatie 0 ~ 1. De verzameling van alle lussen in X vormen een ruimte, die de lusruimte van X wordt genoemd.

Van een topologische ruimte, waarvoor een pad bestaat dat twee punten verbindt, wordt gezegd dat deze wegsamenhangend is. Elke ruimte kan worden opgesplitst in een verzameling van wegsamenhangende componenten. De verzameling van wegsamenhangende componenten van een ruimte X wordt vaak aangeduid door π₀(X);.

Men kan paden en lussen ook definiëren in gepunte ruimten, die belangrijk zijn in de homotopietheorie. Als X een topologische ruimte is met basispunt x₀ , dan is een pad in X een pad, waarvan het initiële punt in x₀ ligt. Op soortgelijke wijze is een lus in X een lus, die gebaseerd is op x₀.

Homotopie van paden

Zie Homotopie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een homotopie tussen twee paden.

Paden en lussen zijn centrale onderwerpen van studie in de homotopietheorie, een deelgebied van de algebraïsche topologie. Een homotopie van paden preciseert de notie van continue vervorming van een pad, waarbij de eindpunten vast blijven.

Concreet is, een homotopie van paden, of pad-homotopie, in X een familie van paden f_t : I → X geïndexeerd door I zodanig dat

• f_t(0) = x₀ en f_t(1) = x₁ vast zijn.
• De afbeelding F : I × I → X gegeven door F(s, t) = f_t(s) continu is.

Van de paden f₀ en f₁, die zijn verbonden door een homotopie, wordt gezegd dat deze homotoop (of preciezer gezegd pad-homotoop) zijn, dit om een onderscheid te maken tussen de relatie die gedefinieerd is op alle continue functies tussen vaste ruimten. Men kan op dezelfde manier ook een homotopie van lussen definiëren, waar het basispunt vast is.

Op paden in een topologische ruimte is een homotopierelatie een equivalentierelatie. Onder deze relatie wordt de equivalentieklasse van een pad f wel de homotopieklasse van f genoemd, wat wel met [f] wordt aangeduid.

Padcompositie

Op een voor de hand liggende wijze kan men in een topologische ruimte paden samenstellen. Stel dat f en g paden van respectievelijk x naar y en y naar z zijn. Het pad fg wordt dan gedefinieerd als het pad dat wordt afgelegd door eerst pad f en vervolgens pad g af te leggen:

$fg(s)={\begin{cases}f(2s)&0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\g(2s-1)&{\frac {1}{2}}\leq s\leq 1.\end{cases}}$

Het zal duidelijk zijn dat padcompositie alleen is gedefinieerd als het eindpunt van f exact overeenkomt met het startpunt van g. Wanneer men alle lussen gebaseerd op een punt x₀ in beschouwing neemt, dan is padcompositie een binaire operatie.

Padcompositie, hoe dan ook gedefinieerd, is niet associatief, dit als gevolg van het verschil in parametrisatie. Het is echter associatief tot pad-homotopie. Dat wil zeggen dat [(fg)h] = [f(gh)]. Padcompositie definieert een groepsstructuur op de verzameling van homotopie-klasse van lussen gebaseerd op een punt x₀ in X. De resulterende groep wordt de fundamentaalgroep van X gebaseerd op x₀ genoemd, meestal aangeduid met π₁(X,x₀).

In situaties waarin associativiteit van padcompositie vereist is, kan men een pad in X in plaats daarvan definiëren als een continue afbeelding van een gesloten interval [0,a] op X voor elke reële a ≥ 0. Een pad f van deze soort heeft een lengte |f| gedefinieerd als a. Padcompositie wordt dan als hiervoor gedefinieerd echter met de volgende wijziging:

$fg(s)={\begin{cases}f(s)&0\leq s\leq |f|\\g(s-|f|)&|f|\leq s\leq |f|+|g|\end{cases}}$

Waar in de voorgaande definitie, f, g, en fg allemaal lengte 1 hebben (de lengte van het domein van de afbeelding), maakt deze definitie |fg| = |f| + |g|. Wat de associativiteits-eigenschap niet doet opgaan in de vorige definitie is dat, hoewel (fg)h en f(gh) dezelfde lengte, namelijk 1 hebben, treedt het middelpunt van (fg)h tussen g en h op, terwijl het middelpunt van f(gh) optreedt tussen f en g. Met deze gewijzigde definitie hebben (fg)h en f(gh) dezelfde lengte, namelijk |f|+|g| + |h|, en hetzelfde middelpunt, gevonden op (|f|+|g|+|h|)/ 2 in zowel (fg)h als f(gh); meer in het algemeen hebben zij overal dezelfde parameterisatie.