Geordende steekproef

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de statistiek vormen de naar grootte gerangschikte elementen van een steekproef van onderling onafhankelijke, maar niet noodzakelijk gelijkverdeelde stochastische variabelen uit een continue verdeling de geordende steekproef, meestal genoteerd als

.

Met wordt het steekproefelement aangeduid met het rangnummer . Ook de notatie wordt gebruikt, waaraan tevens de steekproefomvang te zien is. Als er geen knopen zijn, geldt dus:

Als de uitkomst van de steekproef is, worden de geordende resultaten genoteerd als:

.

De elementen in de geordende steekproef zijn stochastisch afhankelijk en elk van de elementen is een steekproeffunctie van de oorspronkelijke steekproef. In het bijzonder is

en

Verdeling[bewerken]

In de meeste gevallen worden gelijkverdeelde variabelen beschouwd, die dus een aselecte steekproef vormen.

In het algemene geval is de verdeling gecompliceerder en wordt deze gegeven door de stelling van Bapat–Beg, die in 1989 gepubliceerd werd door Bapat en Beg. De auteurs gaven geen bewijs, maar in 1994 gaf Hande een eenvoudig bewijs van de stelling.

Aselecte steekproef[bewerken]

Voor een aselecte steekproef van X, dus voor onderling onafhankelijke en gelijkverdeelde X-en, is de simultane verdeling voor gegeven door de kansdichtheid:

De verdelingsfunctie van wordt gegeven door:

,

want elk van de gebeurtenissen

heeft dezelfde kans als

.


De dichtheid van is:

Immers:

Dit resultaat kan ook worden verkregen door het berekenen van de afgeleide van .

Minimum en maximum

Voor het minimum geldt dus:

en ,

en voor het maximum:

en

Uniforme verdeling op (0,1)[bewerken]

Voor een aselecte steekproef uit de uniforme verdeling op het interval (0,1) is:

Dit betekent dat een bètaverdeling heeft met parameters en :

Stelling van Bapat-Beg[bewerken]

De stochastische variabelelen zijn onderling onafhankelijk en hebben verdelingsfuncties . De simultane verdelingsfunctie van de elementen van de geordende steekproef wordt voor gegeven door:

,

waarin

de permanent is van de genoemde matrix met en onder de accolades de getallen die het aantal kolommen aangeven.

Bewijs

Definieer

,

dan

.

Daarin is, met lopend over alle permutaties van de getallen , en voor de eenvormigheid van de formule en :

En:


Voor een aselecte steekproef geeft de stelling voor bijvoorbeeld de gehele geordende steekproef:

Toepassing[bewerken]

De geordende steekproef en de rangnummers spelen een belangrijke rol in de verdelingsvrije statistiek.

Als de verdelingsfunctie van de verdeling waaruit de steekproef getrokken is, bekend is, kan de geordende steekproef herleid worden tot de geordende steekproef uit de uniforme verdeling, en de eigenschappen aan de hand hiervan bestudeerd worden.

Literatuur[bewerken]

  • Bapat, R. B.; Beg, M. I. (1989). "Order Statistics for Nonidentically Distributed Variables and Permanents". Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961-2002) 51 (1): 79–93. JSTOR 25050725. MR 1065561.
  • David, H. A. Order Statistics, 2nd ed. New York: Wiley, 1981.
  • Gibbons, J. D. and Chakraborti, S. (Eds.). Nonparametric Statistic Inference, 3rd ed. exp. rev. New York: Dekker, 1992.
  • Hande, Sayaji (1994). "A Note on Order Statistics for Nondentically Distributed Variables". Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961-2002) 56 (2): 365–368. JSTOR 25050995. MR 1664921.
  • Hogg, R. V. and Craig, A. T. Introduction to Mathematical Statistics, 3rd ed. New York: Macmillan, 1970.
  • Rose, C. and Smith, M. D. "Order Statistics." §9.4 in Mathematical Statistics with Mathematica. New York: Springer-Verlag, pp. 311-322, 2002.

Externe links[bewerken]