Permanent (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is de permanent van een vierkante matrix , net als de determinant, een functie van de elementen van die op overeenkomstige wijze berekend wordt, zij het dat de summanden in de permanent geen voorteken krijgen, zoals bij de determinant.

De term 'permanent' is afgeleid van de term 'fonctions symétriques permanentes', bedacht door Cauchy in 1812 voor een verwant begrip.[1]. In de huidige betekenis werd de term in 1882 gebruikt door de Schotse wiskundige Sir Thomas Muir.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

De permanent van de -matrix is gedefinieerd door:

,

waarin de som loopt over alle permutaties van de getallen 1 t/m .

Berekening[bewerken | brontekst bewerken]

Het berekenen van de permanent van een matrix vergt nogal wat rekenwerk. Er zin enkele formules die het rekenwerk vereenvoudigen.

Formule van Spies[bewerken | brontekst bewerken]

De Nederlandse wiskundige Jaap Spies geeft in een recent verschenen artikel in het Nieuw Archief voor Wiskunde[2] een formule die reeds eerder in 2006 zijdelings door hem vermeld werd in een eerder artikel in het NAW.[3]

Spies merkt op dat de permanent de coëfficiënt is van in de veelterm

Definieer

en bereken de som over alle mogelijke :

Dan draagt alleen de term

in altijd bij aan deze som, omdat voor .

Een term waarin de factor ontbreekt in telt één keer als en één keer als .

Er zijn mogelijkheden met dus de permanent van is

Om redenen van symmetrie kan de formule vereenvoudigd worden door een vast te kiezen, bijvoorbeeld . Er zijn dan mogelijkheden. De formule wordt dan:

Vergelijk deze formule met de formule van Glynn hieronder.

Formule van Ryser[bewerken | brontekst bewerken]

De berekening van de permanent met de formule uit de definitie is nogal bewerkelijk en verlangt rekenkundige operaties. De Amerikaanse wiskundige H. J. Ryser publiceerde in 1963 een snellere formule die het tot nu toe snelste algoritme is voor de exacte berekening van de permanent. De formule van Ryser is:

,

waarin de som is over alle matrices van de producten van de rijsommen van , een matrix die uit ontstaat door kolommen te schrappen.

,

waarin

Uitgeschreven in de elementen van luidt de formule:

Het aantal rekenkundige operaties benodigd met de formule van Ryser is van de orde .

Formule van Glynn[bewerken | brontekst bewerken]

Een andere formule is van de Australische wiskundige David G. Glynn, gepubliceerd in 2010, en rekentechnisch net zo snel als de formule van Ryser. De formule van Glynn luidt, mits de karakteristiek van het lichaam ongelijk is aan 2:

Daarin loopt de eerste som over alle rijtjes met .

Ontwikkeling naar rij of kolom[bewerken | brontekst bewerken]

Net als de determinant kan de permanent berekend worden door een ontwikkeling naar een rij of een kolom. De ontwikkeling naar de -de kolom is:

waarin de matrix is die verkregen wordt door uit de -de kolom en de -de rij te schrappen.

De ontwikkeling naar een rij is op overeenkomstige wijze gedefinieerd.

Voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]

In twee dimensies

Als coëfficiënt van in

Met de formule van Ryser:

Met de formule van Glynn.

Er zijn 2 rijtjes: en

In drie dimensies

Als coëfficiënt van in

Kies namelijk steeds uit een van de factoren de coëfficiënt van , uit een andere factor de coëfficiënt van en van een derde factor de coëfficiënt van .

Met de formule van Ryser:

bestaat uit 27 termen waarvan 6 de permanent vormen. De resterende 21 termen vallen weg tegen 21 van de 24 termen van . De overblijvende 3 termen van vallen weg tegen de 3 termen van .

Met de formule van Glynn:

Er zijn 4 rijtjes: , , en .

Ontwikkeling naar de eerste kolom.

Toepassing[bewerken | brontekst bewerken]

Van de permanent bestaat niet zoals van de determinant een eenvoudige meetkundige interpretatie. De toepassingen liggen op het gebied van de combinatoriek. Een voorbeeld is de berekening van koppelingen in een bipartiete graaf.

Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

In het onderstaande is de betrokken vectorruimte over het lichaam (Ned) / veld (Be) , en wordt de -matrix genoteerd als een rij van kolomvectoren: .

Multilineair[bewerken | brontekst bewerken]

De permanent is een multilineaire functie van de kolommen. D.w.z. dat voor alle geldt:

en

Symmetrisch[bewerken | brontekst bewerken]

De permanent is een symmetrische functie van de kolommen, d.w.z. dat de waarde niet verandert bij verwisseling van twee kolommen. Voor alle en alle geldt dus:

Genormeerd[bewerken | brontekst bewerken]

De permanent is genormeerd, d.w.z. dat de permanent van de eenheidsmatrix de waarde 1 heeft.

Getransponeerde[bewerken | brontekst bewerken]

De permanent van de getransponeerde matrix is gelijk aan de permanent van zelf:

Matrixproduct[bewerken | brontekst bewerken]

Anders dan voor de determinant geldt voor de permanent niet algemeen dat de permanent van het matrixproduct gelijk is aan het product van de permanenten van en , zoals te zien is aan het volgende tegenvoorbeeld:

maar

Niet-vierkante matrices[bewerken | brontekst bewerken]

De permanent kan ook gedefinieerd worden voor niet-vierkante matrices. Voor een -matrix , met , dus met niet meer rijen dan kolommen, is:

,

waarin de som loopt over alle variaties van m getallen uit de getallen 1 t/m n.

De formule van Ryser kan ook gegeneraliseerd worden.

,

waarin weer de som is over alle mogelijke producten van de rijsommen van , een matrix die uit ontstaat door kolommen te schrappen.

Generalisatie[bewerken | brontekst bewerken]

Evenals de determinant is de permanent een speciaal geval van de immanent, die voor een complex karakter uit de symmetriegroep gedfinieerd is als:

.

De permanent verkrijgt men door de keuze van het triviale karakter, de determinant door de keuze van de functie signum.

Deze beide mogelijkheden zijn in zoverre speciaal, dat ze de enige eindigdimensionale groepsrepresentaties van de symmetriegroep zijn.

Literatuur[bewerken | brontekst bewerken]

  • Glynn, David G. (2010), The permanent of a square matrix, European Journal of Combinatorics 31 (7): 1887–1891, doi:10.1016/j.ejc.2010.01.010
  • Brualdi, Richard A.; Ryser, Herbert J. (1991), Combinatorial Matrix Theory, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 39. Cambridge University Press, Camebridge England New York. ISBN 0521322650
  • van Lint, J.H.; Wilson, R.M. (2001), A Course in Combinatorics, Cambridge University Press, ISBN 0521422604
  • Minc, Henryk (1978). Permanents, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 6. With a foreword by Marvin Marcus. Reading, MA: Addison–Wesley. ISSN 0953-4806. OCLC 3980645. Zbl 0401.15005.
  • Muir, Thomas; William H. Metzler. (1960) [1882], A Treatise on the Theory of Determinants, New York: Dover. OCLC 535903.
  • Ryser, Herbert John (1963), Combinatorial Mathematics, The Carus mathematical monographs #14, The Mathematical Association of America

Referenties[bewerken | brontekst bewerken]

  1. Cauchy, A. L., Mémoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et de signes contraires par suite des transpositions opérées entre les variables qu’elles renferment. 91–169 (1815).
  2. Spies, Jaap (2020), A formula for the permanent, Nieuw Archief voor Wiskunde NAW 5/21 nr. 1 maart 2020: 27
  3. NAW december 2006 Spies, Jaap "Dancing School Problems. Permanent solutions of Problem 29"

Externe links[bewerken | brontekst bewerken]

  • [1] - Weisstein, Eric W. "Permanent." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  • Derangements revisited – Toepassing van permanenten in een combinatorisch probleem