In de statistiek vormen de naar grootte gerangschikte elementen van een steekproef
van continue stochastische variabelen, die onderling onafhankelijk zijn, maar niet noodzakelijk gelijkverdeeld, de geordende steekproef, meestal genoteerd als
.
Met
wordt het steekproefelement aangeduid met het rangnummer
. Ook de notatie
wordt gebruikt, waaraan tevens de steekproefomvang te zien is. Als er geen knopen zijn, geldt dus:
![{\displaystyle X_{(k)}=X_{i}\Longleftrightarrow R_{i}=k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c16cbf9bae686bddd2bc1e9512487355a41740)
Als
de uitkomst van de steekproef is, worden de geordende resultaten genoteerd als:
![{\displaystyle x_{(1)}\leq \ldots \leq x_{(n)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916b4e1aeebd516e6e493956d700a1eeea1bbc2d)
De elementen in de geordende steekproef zijn stochastisch afhankelijk en elk van de elementen is een steekproeffunctie van de oorspronkelijke steekproef. In het bijzonder is
![{\displaystyle X_{(1)}=\min(X_{1},\ldots ,X_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77a1184930899bb9c072e2360c2f95ae68c084c7)
en
![{\displaystyle X_{(n)}=\max(X_{1},\ldots ,X_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5598e1c48bdb66ada8d515d4f851e0494fa45fb2)
Verdeling
In de meeste gevallen worden gelijkverdeelde variabelen beschouwd, die dus een aselecte steekproef vormen.
In het algemene geval is de verdeling gecompliceerder en wordt deze gegeven door de stelling van Bapat–Beg, die in 1989 gepubliceerd werd door Bapat en Beg. De auteurs gaven geen bewijs, maar in 1994 gaf Hande een eenvoudig bewijs van de stelling.
Aselecte steekproef
Voor een aselecte steekproef van
dus voor onderling onafhankelijke en gelijkverdeelde
-en, is de simultane verdeling voor
gegeven door de kansdichtheid:
![{\displaystyle f_{X_{(1)},\ldots ,X_{(n)}}(y_{1},\ldots ,y_{n})=n!\prod _{k}f_{X}(y_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f2a87229b30340d39ee2f7b7be7b3819ad017c)
De verdelingsfunctie van
wordt gegeven door:
![{\displaystyle =\sum _{m=k}^{n}P(X_{(1)}\leq x,\ldots ,X_{(m)}\leq x,X_{(m+1)}>x,\ldots ,X_{(n)}>x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb4e9da306ccdeb3dbc6f5fb9adee176b75d1b8)
![{\displaystyle =\sum _{m=k}^{n}{\tbinom {n}{m}}P(X_{1}\leq x,\ldots ,X_{m}\leq x,X_{m+1}>x,\ldots ,X_{n}>x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9483c7e1a38d1920a707b83f60e8e52829991d2)
,
want elk van de
gebeurtenissen
![{\displaystyle \{X_{i_{1}}\leq x,\ldots ,X_{i_{m}}\leq x,X_{i_{m+1}}>x,\ldots ,X_{i_{n}}>x\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21248af8a441f4780d22d64283e7f9bea5c56d4d)
heeft dezelfde kans als
![{\displaystyle \{X_{1}\leq x,\ldots ,X_{m}\leq x,X_{m+1}>x,\ldots ,X_{n}>x\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d5b6aa0956450f6246ba01a2b2fa571a448260b)
De dichtheid van
is:
![{\displaystyle f_{X_{(k)}}(x)=n{\tbinom {n-1}{k-1}}\left(F_{X}(x)\right)^{k-1}f_{X}(x)(1-\left(F_{X}(x)\right))^{n-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea07b16c880b8c5b4095b143021b555574f6a3f3)
Immers:
![{\displaystyle f_{X_{(k)}}(x){\rm {d}}x\approx P(X_{(k)}\in [x,x+{\rm {d}}x))=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d7672fc4a46c392effb00913466163fb22b37c7)
![{\displaystyle =n{\tbinom {n-1}{k-1}}P(X_{1}\leq x,\ldots ,X_{k-1},X_{k}\in [x,x+{\rm {d}}x)),X_{k+1}>x,\ldots ,X_{n}>x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72f612b9289ca3351688b4bc4e9697752e9c9faa)
![{\displaystyle =n{\tbinom {n-1}{k-1}}F_{X}(x)\cdot \ldots \cdot F_{X}(x)f_{X}(x){\rm {d}}x(1-F_{X}(x))\cdot \ldots \cdot (1-F_{X}(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1916ef8962ecdbb8e61ff26c0a2611ccd1456742)
Dit resultaat kan ook worden verkregen door het berekenen van de afgeleide van
.
![{\displaystyle =f_{X}(x)\left(\sum _{m=k}^{n}{\tbinom {n}{m}}m\left(F_{X}(x)\right)^{m-1}\left(1-F_{X}(x)\right)^{n-m}-\sum _{m=k}^{n-1}{\tbinom {n}{m}}(n-m)\left(F_{X}(x)\right)^{m}\left(1-F_{X}(x)\right)^{n-m-1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9718537480ae4264f79110fa6526327a5dcc9a4)
![{\displaystyle =f_{X}(x)\left(\sum _{m=k}^{n}{\tbinom {n}{m}}m\left(F_{X}(x)\right)^{m-1}\left(1-F_{X}(x)\right)^{n-m}-\sum _{m=k+1}^{n}{\tbinom {n}{m-1}}(n-m+1)\left(F_{X}(x)\right)^{m-1}\left(1-F_{X}(x)\right)^{n-m}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86c365136cbff191044601b45f82c548932c12eb)
![{\displaystyle =f_{X}(x)\left(n\sum _{m=k}^{n}{\tbinom {n-1}{m-1}}\left(F_{X}(x)\right)^{m-1}\left(1-F_{X}(x)\right)^{n-m}-n\sum _{m=k+1}^{n}{\tbinom {n-1}{m-1}}\left(F_{X}(x)\right)^{m-1}\left(1-F_{X}(x)\right)^{n-m}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e601fbb5570821830412489be36c9e11ff1825a)
![{\displaystyle =nf_{X}(x){\tbinom {n-1}{k-1}}\left(F_{X}(x)\right)^{k-1}\left(1-F_{X}(x)\right)^{n-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d16c5a13f231b0d9edf65a9b9a20b8cffed99c)
- Minimum en maximum
Voor het minimum geldt dus:
en
,
en voor het maximum:
en ![{\displaystyle f_{X_{(n)}}(x)=n\left(F_{X}(x)\right)^{n-1}f_{X}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78ec0c2dd257dc5d9fa866eb33936999da5f2de6)
Voor een aselecte steekproef
uit de uniforme verdeling op het interval (0,1) is:
![{\displaystyle f_{U_{(k)}}(u)=n{\tbinom {n-1}{m-1}}u^{k-1}(1-u)^{n-k},\quad (u\in (0,1))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d27c13c8bc80e05b1c49e33d2cff9f60c6d2ce5)
Dit betekent dat
een bètaverdeling heeft met parameters
en
:
![{\displaystyle U_{(k)}\sim B(k,n+1-k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2dfc75c56bb7f37965cae7d0a247da281ee59a1)
Stelling van Bapat-Beg
De stochastische variabelen
zijn onderling onafhankelijk en hebben verdelingsfuncties
. De simultane verdelingsfunctie van de elementen
van de geordende steekproef wordt voor
gegeven door:
,
waarin
![{\displaystyle =\operatorname {per} \left({\begin{bmatrix}F_{11}\ldots F_{11}&F_{12}-F_{11}\ldots F_{12}-F_{11}&\ldots &F_{1k}-F_{1,k-1}\ldots F_{1k}-F_{1,k-1}&1-F_{1k}\ldots 1-F_{1k}\\F_{21}\ldots F_{21}&F_{22}-F_{21}\ldots F_{22}-F_{21}&\ldots &F_{2k}-F_{2,k-1}\ldots F_{2k}-F_{2,k-1}&1-F_{2k}\ldots 1-F_{2k}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\underbrace {F_{n1}\ldots F_{n1}} _{n_{1}}&\underbrace {F_{n2}-F_{n1}\ldots F_{n2}-F_{n1}} _{n_{2}-n_{1}}&\ldots &\underbrace {F_{nk}-F_{n,k-1}\ldots F_{nk}-F_{n,k-1}} _{n_{k}-n_{k-1}}&\underbrace {1-F_{nk}\ldots 1-F_{nk}} _{n-n_{k}}\end{bmatrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67f8c8b8e75ae7e9d510fa315d5ae30e78778893)
de permanent is van de genoemde matrix met
en onder de accolades de getallen staan, die het aantal kolommen aangeven.
- Bewijs
Definieer
,
dan
![{\displaystyle P(X_{(r_{1})}\leq x_{1},\ldots ,X_{(r_{k})}\leq x_{k})=P(r_{1}\leq N_{1},r_{2}\leq N_{2},\ldots ,r_{k}\leq N_{k})=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ef4760a334425f29ad629d2d706c68a66e26be8)
![{\displaystyle =\sum _{n_{k}=r_{k}}^{n}\sum _{n_{k-1}=r_{k-1}}^{n_{k}}\ldots \sum _{n_{2}=r_{2}}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=r_{1}}^{i_{2}}P(N_{1}=n_{1},N_{2}=n_{2},\ldots ,N_{k}=n_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/654de6d042a7ec1ad5c5fcdb341ba41c3385f88d)
Daarin is, met
lopend over alle permutaties van de getallen
, en voor de eenvormigheid van de formule
en
:
![{\displaystyle P(N_{1}=n_{1},N_{2}=n_{2},\ldots ,N_{k}=n_{k})=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d814b4ca2a2dc0740b91badc2009f3c0c89ecaa)
![{\displaystyle ={\frac {1}{n_{1}!(n_{2}-n_{1})!\ldots (n-n_{k})!}}\sum _{\sigma }P(X_{\sigma (1)}\leq x_{1},\ldots ,X_{\sigma (n_{1})}\leq x_{1},x_{1}<X_{\sigma (n_{1}+1)}\leq x_{2},\ldots ,x_{1}<X_{\sigma (n_{2})}\leq x_{2},\ldots )=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a28d78272600051123931ad96219dbd13dd4b78)
![{\displaystyle ={\frac {1}{n_{1}!(n_{2}-n_{1})!\ldots (n-n_{k})!}}\sum _{\sigma }\prod _{j=1}^{k+1}\prod _{i_{j}=n_{j-1}+1}^{n_{j}}\left(F_{\sigma (i_{j})}(x_{j})-F_{\sigma (i_{j})}(x_{j-1})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62234b8525bff84441bf5b74730f39145742c897)
En:
![{\displaystyle \sum _{\sigma }\prod _{j=1}^{k+1}\prod _{i_{j}=n_{j-1}+1}^{n_{j}}\left(F_{\sigma (i_{j})}(x_{j})-F_{\sigma (i_{j})}(x_{j-1})\right)=P_{n_{1},\ldots ,n_{k}}(x_{1},\ldots ,x_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bed7c0d1d9e924c6b1f76f59c76e8bf2f479d9d3)
Voor een aselecte steekproef geeft de stelling voor bijvoorbeeld de gehele geordende steekproef:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&=F(y_{1})^{n}+\\&+nF(y_{1})(F(y_{2})-F(y_{1}))^{n-1}+\\&+n(n-1)F(y_{1})(F(y_{2})-F(y_{1}))(F(y_{3})-F(y_{2}))^{n-2}+\\&\ldots \\&+n!F(y_{1})\prod _{i=1}^{n-1}(F(y_{i+1}-F(y_{i}))\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16249fadaf3f03ee4e64063bebb8e726e8fb9791)
Toepassing
De geordende steekproef en de rangnummers spelen een belangrijke rol in de verdelingsvrije statistiek.
Als de verdelingsfunctie van de verdeling waaruit de steekproef getrokken is, bekend is, kan de geordende steekproef herleid worden tot de geordende steekproef uit de uniforme verdeling, en de eigenschappen aan de hand hiervan bestudeerd worden.
Literatuur
- Bapat, R. B.; Beg, M. I. (1989). "Order Statistics for Nonidentically Distributed Variables and Permanents". Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961-2002) 51 (1): 79–93. JSTOR 25050725. MR 1065561.
- David, H. A. Order Statistics, 2nd ed. New York: Wiley, 1981.
- Gibbons, J. D. and Chakraborti, S. (Eds.). Nonparametric Statistic Inference, 3rd ed. exp. rev. New York: Dekker, 1992.
- Hande, Sayaji (1994). "A Note on Order Statistics for Nondentically Distributed Variables". Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961-2002) 56 (2): 365–368. JSTOR 25050995. MR 1664921.
- Hogg, R. V. and Craig, A. T. Introduction to Mathematical Statistics, 3rd ed. New York: Macmillan, 1970.
- Rose, C. and Smith, M. D. "Order Statistics." §9.4 in Mathematical Statistics with Mathematica. New York: Springer-Verlag, pp. 311-322, 2002.
Externe links