Hermitische matrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een hermitische matrix (ook wel zelf-geadjungeerde matrix genoemd) een vierkante matrix met complexe elementen die gelijk is aan zijn geadjugeerde matrix. Dat wil zeggen dat het element in de i-de rij en de j-de kolom gelijk is aan de complex geconjugeerde van het element in de j-de rij en de i-de kolom, dit voor alle indices i en j.

Hermitische matrices zijn vernoemd naar Charles Hermite. Deze Franse wiskundige liet in 1855 zien dat matrices van deze vorm een eigenschap delen met reële symmetrische matrices; zij hebben altijd reële eigenwaarden.

Definitie[bewerken]

De n×n-matrix A met elementen in \C noemt men dan en slechts dan hermitisch als zijn getransponeerde matrix gelijk is aan zijn complex geconjugeerde matrix; in formulevorm

A^{\mathrm T} = \overline{A}\,.

Voor de elementen van de matrix geldt dan voor alle indices i en j:

a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}.

Voorbeeld[bewerken]

De onderstaande matrix is een hermitische 2×2-matrix:

\begin{bmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{bmatrix}

De diagonale elementen moeten reëel zin, dit aangezien zij hun eigen complex geconjugeerde moeten zijn.

Bekende families van hermitische matrices zijn Pauli-matrices, Gell-Mann-matrices en hun veralgemeningen. In de theoretische natuurkunde worden dergelijke Hermitische matrices vaak vermenigvuldigd met imaginaire coëfficiënten[1] Dit resulteert in scheef-Hermitische matrices.

Eigenschappen[bewerken]

  • Voor een hermitische matrix A geldt voor een willekeurig inproduct ( , ): (x,Ay)=(Ax,y)\!.
    Daaruit ziet men ook direct dat de eigenwaarden van een hermitische matrix A reëel zijn, immers als \lambda een eigenwaarde van A is, bij de eigenvector x \ne 0, geldt:
\lambda (x,x) = (x,\lambda x) = (x,Ax) = (Ax,x) = (\lambda x,x) = \bar{\lambda}(x,x) , zodat \bar{\lambda} = \lambda\!, dus reëel.
  • Uit voorgaande eigenschap volgt dat de determinant van een hermitische matrix reëel is.

Toepassing in de natuurkunde[bewerken]

In de natuurkunde spelen hermitische matrices een belangrijke rol, omdat deze altijd reële eigenwaarden hebben. Een operator met reële eigenwaarden correspondeert met een meetbare grootheid in de kwantummechanica.

Zo wordt bijvoorbeeld in de kwantummechanica de impuls p voorgesteld door de operator:

 p_{op} = \frac{\hbar}i \frac{\part}{\part{x}}.

Deze is hermitisch, want:


\langle \psi_1|p_{op}\psi_2\rangle =
\langle p_{op} \psi_1| \psi_2\rangle

Immers:


\langle\psi_1|p_{op}\psi_2\rangle 
= \int_{-\infty}^{+\infty}{\psi_1^* \frac{\hbar \part}{i \part{x}} \psi_2}\,{{\rm d}x}
=\psi_1^* \psi_2|_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\hbar \part}{i\part{x}} \psi_1^* \psi_2}\,{{\rm d}x} =

= \int_{-\infty}^{+\infty}{(\frac{\hbar \part}{i\part{x}})^* \psi_1^* \psi_2}\,{{\rm d}x}
= \langle p_{op} \psi_1| \psi_2\rangle

Door de randvoorwaarde  \psi_{1,2}(-\infty) = \psi_{1,2}(\infty) = 0 valt de stokterm weg.

Voetnoten[bewerken]

  1. Physics 125 Course Notes at California Institute of Technology

Literatuur[bewerken]