Trapp stroomde in 2007 door vanuit de jeugd van FC Kaiserslautern. Na een jaar in het tweede, debuteerde hij op 9 augustus 2008 in het eerste team in de eerste ronde van het toernooi om de DFB-Pokal, tegen Carl Zeiss Jena. Trapp verruilde in 2012 het gedegradeerde Kaiserslautern voor het dan net naar de Bundesliga gepromoveerde Eintracht Frankfurt, waar hij een vierjarig contract tekende. Hij werd in zijn eerste jaar met zijn nieuwe club zesde, in het seizoen 2012/13. In de volgende seizoenen volgden een dertiende en een negende plaats. Trapp maakte in het seizoen 2013/14 met Eintracht Frankfurt ook zijn debuut in de UEFA Europa League.
Trapp tekende in juli 2015 een contract tot medio 2020 bij Paris Saint-Germain, op dat moment de regerend kampioen van Frankrijk. Dat betaalde €9.000.000,- voor hem aan Eintracht Frankfurt.[1] Trapp was in zijn eerste jaar in Parijs eerste doelman in zowel de wedstrijden in de competitie als die in de Champions League. Gedurende het seizoen 2016/17 verkoos coach Unai Emery in eerste instantie Alphonse Aréola, die Trapp in 2017/18 permanent uit de basis verdrong. Nadat Paris Saint-German ook Gianluigi Buffon naar Frankrijk haalde, verhuurde de club Trapp in 2018/19 aan Eintracht Frankfurt.
Trapp speelde in diverse Duitse jeugdelftallen. Voor Duitsland –21 speelde hij in dertien wedstrijden. Hij had hier concurrentie voor zijn positie van Oliver Baumann. In juni 2017 nam Trapp met het Duits voetbalelftal deel aan de FIFA Confederations Cup 2017, die werd gewonnen door in de finale Chili te verslaan (1–0). Trapp maakte eveneens deel uit van de Duitse selectie, die onder leiding van bondscoach Joachim Löw deelnam aan de WK-eindronde 2018 in Rusland. Daar werd Die Mannschaft voortijdig uitgeschakeld. De ploeg strandde in de groepsfase, voor het eerst sinds het wereldkampioenschap 1938, na nederlagen tegen Mexico (0–1) en Zuid-Korea (0–2). In groep F werd alleen van Zweden (2–1) gewonnen, al kwam die zege pas tot stand in de blessuretijd. Trapp was een van de drie spelers, naast collega-keeper Marc-André ter Stegen en Matthias Ginter, die geen minuut in actie kwam tijdens het toernooi.
Duitsland
.svg){kind=small}
Ligue 1
Denemarken – Duitsland 
_con_aquila_di_Francoforte.png){kind=small}
