Naar inhoud springen

Legendre-symbool

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Het Legendre-symbool of kwadratisch karakter is een functie, die in 1798 door Adrien-Marie Legendre werd ingevoerd.[1] Hij deed dat toen hij stellingen probeerde te bewijzen ten aanzien van de kwadratische reciprociteit.[2] Het Legendre-symbool heeft als voorbeeld gediend voor andere[3] hogere machts residu-symbolen, zoals voor het Jacobi- en het Kronecker-symbool. Het is een van de eerste voorbeelden van een homomorfisme.[4]

Het Legendre-symbool , soms geschreven als , wordt voor hele getallen en priemgetallen gedefinieerd door:

Als wordt een kwadratisch residu genoemd , als , dan wordt een kwadratisch niet-residu genoemd. Het is gebruikelijk om nul als een speciaal geval te behandelen.

Gauss gebruikte de notatie , afhankelijk van het feit of een residu of een niet-residu van is.

De periodieke rij voor gelijk aan 0, 1, 2,... wordt soms de Legendre-rij genoemd, met de {0,1,-1} waarden soms weergegeven door {1,0,1} of {0,1,0}.[5]

Eigenschappen

[bewerken | brontekst bewerken]

Het Legendre-symbool is periodiek met periode , dus hangt alleen van de restklasse van af.

De kwadratische residuen vormen een ondergroep met index 2 in de vermenigvuldigingsgroep . Dus van de restklassen die niet de nulklasse zijn, is precies de helft een kwadraat.

Criterium van Euler

[bewerken | brontekst bewerken]

Het criterium van Euler[6][7] laat een rechtstreekse berekening van het Legendre-symbool toe:

Of: als een oneven priemgetal is, en geen veelvoud van , dan is een kwadratisch residu als en slechts als (-1)/2-1 een veelvoud is van , en een kwadratisch niet-residu als en slechts als een veelvoud is van .

Om na te gaan of 8 congruent is met een kwadraat modulo 17, kunnen we alle kwadraten modulo 17 uitrekenen, om vast te stellen dat

maar we kunnen ook het criterium van Euler gebruiken en nagaan dat

Andere symbolen

[bewerken | brontekst bewerken]
  • Het Jacobi-symbool is een veralgemening van het Legendre-symbool, dat samengestelde laagste getallen toestaat, hoewel het laagste getal nog steeds oneven en positief moet zijn. Deze veralgemening geeft een doeltreffende methode om alle Legendre-symbolen te berekenen.
  • Een verdere veralgemening is het Kronecker-symbool dat de laagste getallen uitbreidt naar alle gehele getallen.