Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Grafiek van de Logarithmische integraal In de wiskunde is de logaritmische integraal of integraal logaritme
l
i
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {li} (x)}
speciale functie . De logaritmische integraal komt voor bij problemen in de natuurkunde en heeft getaltheoretische betekenis, aangezien hij voorkomt in de priemgetalstelling als een schatting van het aantal priemgetallen minder dan een gegeven waarde.
Definitie De logarithmische integraal is voor reële
x
>
0
,
x
≠
1
{\displaystyle x>0,x\neq 1}
l
i
(
x
)
=
∫
0
x
d
t
ln
(
t
)
,
{\displaystyle \mathrm {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln(t)}}~,}
waarin
ln
{\displaystyle \ln }
natuurlijke logaritme is.
De integrand heeft een singulariteit voor
t
=
1
{\displaystyle t=1}
x
>
1
{\displaystyle x>1}
Cauchy-hoofdwaarde :
l
i
(
x
)
=
lim
ε
↓
0
(
∫
0
1
−
ε
d
t
ln
t
+
∫
1
+
ε
x
d
t
ln
t
)
.
{\displaystyle \mathrm {li} (x)=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {{\rm {d}}t}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {{\rm {d}}t}{\ln t}}\right).}
De logaritmische integraal is nauw verbonden met de exponentiële integraal
E
i
{\displaystyle \mathrm {Ei} }
l
i
(
x
)
=
E
i
(
ln
x
)
{\displaystyle \mathrm {li} (x)=\mathrm {Ei} (\ln x)}
Uit deze relatie kan een reeksontwikkeling voor de logaritmische integraal verkregen worden:
l
i
(
x
)
=
γ
+
ln
|
ln
x
|
+
∑
k
=
1
∞
(
ln
x
)
k
k
⋅
k
!
,
{\displaystyle \mathrm {li} (x)=\gamma +\ln |\ln x|+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{k}}{k\cdot k!}},}
waarin
γ
=
0,577
21
…
{\displaystyle \gamma =0{,}57721\ldots }
constante van Euler-Mascheroni is.
Verschoven logarithmische integraal Een verschoven versie van de logarithmische integraal wordt wel aangeduid als de logarithmische integraal van Euler , voor
x
>
2
{\displaystyle x>2}
L
i
(
x
)
=
l
i
(
x
)
−
l
i
(
2
)
,
{\displaystyle \mathrm {Li} (x)=\mathrm {li} (x)-\mathrm {li} (2),}
of als integraal:
L
i
(
x
)
=
∫
2
x
d
t
ln
t
.
{\displaystyle \mathrm {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {{\rm {d}}t}{\ln t}}~.}
Deze functie is een zeer goede benadering van de de priemgetal-telfunctie
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
x
.
{\displaystyle x.}
Zie ook 
