Priemgetalstelling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, beschrijft de priemgetalstelling de asymptotische verdeling van de priemgetallen. De priemgetalstelling geeft een ruwe beschrijving van hoe ver grote priemgetallen 'gemiddeld' uit elkaar liggen. Ruwweg gesproken stelt de priemgetalstelling dat, als een willekeurig getal in de buurt van enig groot getal gekozen wordt, dan de kans dat dit gekozen getal een priemgetal is, ongeveer gelijk is aan 1, waarin staat voor de natuurlijke logaritme van In de buurt van is de kans ongeveer 19, terwijl dit in de buurt van ongeveer 121 is.

Formele beschrijving[bewerken | brontekst bewerken]

Werkelijk aantal priemgetallen (paars) en (groen)

Laat de priemgetal-telfunctie zijn die voor ieder reëel getal het aantal priemgetallen kleiner dan of gelijk aan geeft. Een voorbeeld is dit omdat er precies vier priemgetallen, nl. 2, 3, 5 en 7, kleiner dan of gelijk aan 10 zijn. De priemgetalstelling stelt dan dat de limiet van het quotiënt van de twee functies en gelijk is aan 1 als tot oneindig nadert. In formule:

Deze formule staat bekend als de asymptotische verdelingswet van de priemgetallen. Dit wordt ook wel uitgedrukt als:

Deze notatie en ook de stelling zeggen niets over de limiet van het verschil van de twee functies als tot oneindig nadert. Het verschil gedraagt zich zeer gecompliceerd en het verschil is nauw gerelateerd aan de riemann-hypothese. De priemgetalstelling zegt dat nadert tot in de zin dat de relatieve fout van deze benadering tot 0 nadert, als tot oneindig nadert.

De priemgetalstelling is equivalent aan de stelling dat het -de priemgetal ongeveer gelijk is aan , waarbij de relatieve fout van deze benadering opnieuw tot 0 nadert als tot oneindig nadert.

Geschiedenis van de asymptotische verdelingswet van de priemgetallen[bewerken | brontekst bewerken]

Gebaseerd op de priemgetallentabellen van Anton Felkel en Jurij Vega uitte Adrien-Marie Legendre in 1796 het vermoeden dat wordt benaderd door de functie , waarin een constante dicht bij 1 is. Carl Friedrich Gauss beschouwde ongeveer in dezelfde tijd als Legendre hetzelfde vraagstuk. Op basis van de voorliggende berekeningen en enige heuristische redeneringen kwam hij met zijn eigen benaderingsfunctie, de logaritmische integraal . Gauss publiceerde zijn resultaten echter niet. De formules van zowel Legendre als Gauss impliceren, zoals hierboven is uitgelegd, dezelfde asymptotische gelijkwaardigheid van en . Wel blijkt de benadering van Gauss aanzienlijk beter te zijn, als de verschillen in plaats van de quotiënten beschouwd worden.

In twee artikelen uit 1848 en 1850 heeft de Russische wiskundige Pafnoeti Tsjebysjev geprobeerd de asymptotische verdelingswet van de priemgetallen te bewijzen. Zijn werk valt op door het gebruik van de zèta-functie nog voor de beroemde verhandeling van Riemann uit 1859. Tsjebysjev slaagde erin een iets zwakkere vorm van de asymptotische verdelingswet te bewijzen, namelijk dat, als de limiet van voor naar oneindig, bestaat, deze limiet noodzakelijkerwijs gelijk is aan 1. Hij was in staat om zonder voorbehoud te bewijzen dat dit quotiënt voor elke begrensd wordt door twee expliciet gegeven constanten. Hoewel Tsjebysjev in zijn artikel de priemgetalstelling niet helemaal bewees, gebruikte hij zijn schattingen voor om het postulaat van Bertrand, dat er voor een priemgetal tussen en bestaat, te bewijzen.

Zonder twijfel het belangrijkste werk over de verdeling van de priemgetallen was de verhandeling van Riemann uit 1859, Over het aantal priemgetallen kleiner dan een gegeven grootte, het enige artikel dat Riemann ooit over dit onderwerp heeft geschreven. Riemann voerde revolutionaire ideeën over dit onderwerp in. Het belangrijkste daarvan is het idee dat de verdeling van priemgetallen nauw verbonden is met de nulpunten van de analytisch voortgezette riemann-zèta-functie van een complexe variabele. In het bijzonder, in deze verhandeling brengt Riemann zijn idee tot uitvoer om methoden uit de complexe analyse bij het bestuderen van de reële functie te gebruiken. Voortbordurend op deze diepe ideeën van Riemann slaagden Hadamard en De la Vallée Poussin er onafhankelijk van elkaar in, bijna veertig jaar na Riemann en alletwee in 1896, de asymptotische verdelingswet van de priemgetallen te bewijzen. Beiden maakten gebruik van methoden uit de complexe analyse, waarbij zij als een belangrijke stap in het bewijs vaststelden dat de Riemann-zèta-functie ongelijk aan nul is voor alle complexe waarden van de variabele die van de vorm met zijn.[1]

In de 20e eeuw werden de stellingen van Hadamard en De la Vallée Poussin ook bekend als de priemgetalstelling. Ook werden er verschillende nieuwe bewijzen van de priemgetalstelling gevonden, waaronder de "elementaire" bewijzen van Atle Selberg en Paul Erdős (1949).

Voetnoten[bewerken | brontekst bewerken]

  1. Ingham, A.E., The Distribution of Prime Numbers (De verdeling van de priemgetallen). Cambridge University Press (1990), 2–5. ISBN 0-521-39789-8.

Inleidende literatuur[bewerken | brontekst bewerken]