Loxodroom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Voorbeeld van een van pool tot pool lopende loxodroom

Een loxodroom is in navigatie een kromme over het aardoppervlak waarlangs de koers gelijk blijft.

De naam loxodroom komt van het Griekse loxos : schuin + dromos : loop (van dramein : lopen).

Als je met behulp van een magnetisch kompas of gyroscopisch kompas een bepaalde koers zou aanhouden, dan volg je een loxodroom. Een dergelijke kromme nadert een pool spiraalvormig, en terugwerkend met de tegengestelde koers, ook de andere pool. Bij de koersen 0º en 180º is de loxodroom een meridiaan en loopt dus rechtstreeks van pool tot pool. Bij 90º en 270º is de loxodroom een gesloten kromme: een parallel.

Men kan de polen wel of niet tot de kromme rekenen (zie ook parametrisering van een kromme). Als men ze tot de kromme rekent zijn ze de enige punten zonder de eigenschap dat het punt en de koers samen de hele kromme bepalen. Er beginnen/eindigen immers vele loxodromen met dezelfde koers.

Van de loxodromen is de evenaar tevens een grootcirkel, en zijn de meridianen halve grootcirkels. De overige zijn geen (delen van) grootcirkels. Een vaste koers betekent dus alleen de kortste route als het de koers noord of zuid is, of bij de route over de evenaar (met dus de koers oost of west).

Dicht bij een pool is een loxodroom bij benadering een logaritmische spiraal. Hij cirkelt dus een oneindig aantal keren rond de pool, maar bereikt deze in een eindige afstand. Uitgaande van een perfecte bol is de lengte van een loxodroom de lengte van de meridiaan gedeeld door de cosinus van de hoek tot het ware noorden.

Kaartprojecties[bewerken]

Bij stereografische projectie met een pool als centraal punt is een loxodroom exact een logaritmische spiraal.

Op een kaart die gebruik maakt van de mercatorprojectie zijn de loxodromen de rechte lijnen (waarbij een lijn die rechts tot de rand komt links verder gaat). De verticale lijnen en de evenaar (horizontale lijn in het "midden") zijn tevens grootcirkels. De overige grootcirkels golven om de evenaar, ze worden dus als gebogen lijnen weergegeven met de bolling naar de polen gericht. Op een mercatorkaart lijkt de grootcirkel dus een omweg, terwijl dit de kortste verbinding tussen twee punten op aarde is. Juist de rechte lijnen (behalve de genoemde die ook grootcirkels zijn) zijn dus omwegen.

Vergelijkingen[bewerken]

De positie op een bol wordt vastgelegd door de coördinaten φ (breedtegraad) en λ (lengtegraad). Bij een verandering (,) hoort de verplaatsing (Rcos(φ),Rdφ) (met R de straal van de bol). Een koers (azimut) α geeft de vergelijking: (cos(φ)/ = tan(α)). Voor een loxodroom door (λ0,φ0) is de oplossing:

  \lambda -\lambda_0
=\tan(\alpha)(\operatorname{arcgd}(\phi)-\operatorname{arcgd}(\phi_0))

De functie \operatorname{arcgd}(\phi)={\rm gd}^{-1}(\phi)\,\! is de inverse Gudermannfunctie of hyperbolische amplitude en is verwant aan de vergrotende breedte die in de zeevaart veel gebruikt werd. Deze is gelijk aan de primitieve functie van de secans en wordt op verschillende manieren uitgedrukt:

\operatorname{arcgd}(\phi)\,
= \int \sec(\phi)d\phi 
= \operatorname{arccosh}(\sec\phi)
= \ln\left(\tan\left({\tfrac14 \pi} + {\tfrac12 \phi}\right)\right)

De loxodroom naar een tweede punt (λ1,φ1) kan grafisch gevonden worden op een mercatorkaart of door (met behulp van de vergelijking) de koers (α) te berekenen. Er zijn ook oplossingen mogelijk waarbij de loxodroom de verkeerde kant op loopt of extra rondjes maakt.

De afstand tussen twee punten, gemeten over de loxodroom, is de absolute waarde van de secans van de koers vermenigvuldigd met de noord-zuid afstand (afgezien van de koersen 90º en 270º).

Externe links[bewerken]