Vergrotende breedte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Op hogere breedte wordt bij de mercatorprojectie de projectie van de breedtegraden steeds groter, de vergrotende breedte. Om hoekgetrouwheid of conformiteit te bereiken, is de projectie echter niet rechtstreeks, zoals bij echte cilinderprojecties. De vergrotende breedte is oneindig bij de polen.
Indien het raakpunt van de projectie op de pool ligt, zoals bij de polaire azimutale projectie, dan is er juist sprake van een vergrotende breedte vanaf die pool.
Op de evenaar is de afstand van een lengtegraad vrijwel gelijk aan een breedtegraad, aangezien beiden grootcirkels zijn. Aangezien de parallellen kleincirkels zijn, wordt op hogere breedte de afstand van een lengtegraad echter steeds kleiner, om uiteindelijk op de polen nul te worden. Bij de mercatorprojectie houden de lengtegraden echter een gelijke lengte, zodat de breedtegraden vergroot moeten worden om de onderlinge verhouding tussen de afstand van een lengtegraad en een breedtegraad kloppend te houden. Hierdoor rekt de kaart richting de polen steeds meer op. De polen zelf kunnen daardoor niet afgebeeld worden.

De vergrotende breedte \B of wassende breedte (meridional parts) is de toenemende breedte op kaarten die gebruikmaken van een niet-parallelgetrouwe projectie. Daarbij neemt de schaal toe naarmate de afstand tot het raakpunt groter wordt.

Om de loxodroom tussen twee posities uit te rekenen, wordt bij loxodroomnavigatie gebruikgemaakt van het vergrotende breedteverschil Δ\B.

Mercatorprojectie[bewerken]

De mercatorprojectie wordt ook wel vergrotende breedtekaart of wassende kaart genoemd. Deze kaart heeft een orthogonaal coördinatenstelsel waarbij de afstand tussen de meridianen gelijk blijft aan die op de evenaar. Op Aarde neemt deze echter af volgens:

 \Delta l_\varphi = \Delta l_0 \cdot \cos \varphi

De schaal op de evenaar s0 verhoudt zich daardoor tot de schaal op breedtegraad φ sφ volgens de schaalformule:

s_\varphi = { s_0 \over \cos \varphi}

Dit is in de richting van de parallel. Om de schaal in de richting van de meridiaan hieraan gelijk te maken, moet de afstand tussen de parallellen toenemen. Dit is de vergrotende breedte die kan worden berekend volgens de bol of volgens een oblate sferoïde, meer specifiek een referentie-ellipsoïde.

Bol[bewerken]

Op breedte φ geldt in boogminuten of zeemijlen:

 \backslash\!B = { 10800 \over \pi } \ln \tan \left({ \pi \over 4} + { \varphi \over 2} \right)

Deze functie is verwant aan de inverse Gudermannfunctie.

Ellipsoïde[bewerken]

De vorm van de Aarde wordt echter beter benaderd door een referentie-ellipsoïde dan door een bol. De formule voor een ellipsoïde in boogminuten is:

 \backslash\!B = { 10800 \over \pi } \left[ \ln \tan \left({ \pi \over 4} + { \varphi \over 2} \right) - e^2 sin \varphi - \frac{1}{3} e^4 sin^3 \varphi - \frac{1}{5} e^6 sin^5 \varphi - \ldots \right]

waarbij e de excentriciteit is.

Vergrotende breedteverschil[bewerken]

Voor het vergrotende breedteverschil tussen positie A en B geldt:

 \Delta \backslash\!B_{AB} = { 180^\circ \over \pi } \ln \left[ \frac{\tan \left({ \pi \over 4} + { \varphi_B \over 2} \right)}
{\tan \left({ \pi \over 4} + { \varphi_A \over 2} \right)} \right]

Schaal[bewerken]

De schaal op de evenaar s0 verhoudt zich tot de schaal op breedtegraad φ sb volgens de schaalformule:

s_b = { s_0 \over \cos b}

Literatuur[bewerken]

  • Draaisma, Y; Meester, J.J.; Mulders, J.H.; Spaans, J.A. (1986): Leerboek navigatie, deel 1, De Boer Maritiem,
  • (1987): Admiralty Manual of Navigation, Volume 1. General Navigation, Coastal Navigation and Pilotage, The Stationery Office.