Oneindig product

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde wordt voor een rij van getallen a1, a2, a3, ... het oneindig product

gedefinieerd als de limiet van de rij van gedeeltelijke producten a1a2...an als n zonder begrenzing toeneemt. Van het product zegt men dat dit convergeert, wanneer de limiet bestaat en ongelijk is aan nul. Anders zegt men dat het product divergeert. De waarde nul wordt speciaal behandeld om resultaten te verkrijgen, die analoog zijn aan die voor oneindige sommen. Als het product convergeert, dan moet de limiet van de rij an als n zonder begrenzing toeneemt gelijk zijn 1, dit terwijl het omgekeerde in het algemeen niet waar is. Een scherper criterium maakt gebruik van de logaritme. Als log an gedefinieerd is voor alle n, dan geldt

met het product aan de linkerzijde dan en slechts dan convergerend als de som aan de rechterzijde convergeert. Dit laat de vertaling toe van convergentiecriteria voor oneindige sommen naar convergentiecriteria voor oneindige producten.

Bijvoorbeeld voor producten waarin elke , kan worden geschreven als , met ,laten de grenzen

zien dat het oneindige product precies convergeert als de oneindige som van de pn convergeert.

De bekendste voorbeelden van oneindige producten zijn waarschijnlijk enkele van de formules voor π, zoals de onderstaande twee producten, respectievelijk door François Viète en John Wallis (Wallis-product):

Zie ook[bewerken]

Externe link[bewerken]