Overleg:Rij (wiskunde)

Ik begrijp de toevoeging "al dan niet geordende" niet. Niet geordende verzameling is een verzameling zonder meer en dus geen rij. Wat is een geordende verzamelin? Is bedoeld een verzameling met daarop een ordening? Is hier verwarring met het begrip "geindiceerd"?Nijdam 27 dec 2004 12:37 (CET)

Die formulering blijkt te zijn aangebracht door Gebruiker:83.134.147.189. Ik zal proberen de formulering wat aan te scherpen. Bob.v.R 27 dec 2004 13:18 (CET)

Een aftelbare verzameling is nog beslist geen rij!Nijdam 27 dec 2004 21:51 (CET)

Uitgangpunt voor mij is dat we niet onnodig interessant gaan doen. ALs extra kan best wat exacte info gegeven worden. Vandaar eerst de beschrijving als geindiceerde verzameling; zo kijkt men er heuristisch tegenaan. Het deel over convergentie hoort hier niet thuis. Dat valt onder "limiet", waar het al staat. Kijk daar eens. Nijdam 15 jan 2005 01:45 (CET)

Het probleem is een goede (consistente) notatie voor een rij. In elk geval is de notatie {1,4,9,25,...} niet geschikt voor een rij, want dit is al de notatie voor de verzamelijg van de gehele kwadraten. Bv. is {1,4,9,25,...}={25,9,1,4,36,49,...}. Omdat voor een rij de ordening een rol speelt worden vaak ronde haken, als bij een n-tupel gebruikt.Nijdam 12 mei 2005 15:29 (CEST)

Niet-oneindige rijen

Waarom worden hier enkel oneindige rijen behandelt? Of waarom wordt toch allesinds de indruk gewekt dat rijen altijd oneindig zijn? Voor zover ik weet is dat niet altijd het geval. (Mocht je hier een antwoord op hebben waarvan je absoluut zeker bent, laat dan even weten wat je expertise op het vlak is, zo kan ik een oordeel vormen over hoe betrouwbaar je info is :p. Ik zeg er even bij dat de mijne nu niet bepaald gigantisch is.)
Bovenstaande overlegbijdrage werd geplaatst door 81.165.240.154 op 27 mei 2008 om 11:39 uur.

Spreektaal

In spreektaal is een rij een rij, die hier een multiset heet en is de ordening van veel minder belang. In spreektaal heet alles dat achter elkaar staat al een rij. Multiset zegt nooit iemand. ChristiaanPR (overleg) 10 mei 2012 15:53 (CEST)

Convergentie

@Bob: Je recente toevoeging is terecht, maar ik vraag me af:

Een rij in V kan

1. geen cauchyrij zijn, dan divergent met mogelijkheden a) divergent naar + of -oneindig, b) anders;
2. een cauchyrij zijn, dan a) convergent in V, want limiet in V; b) niet convergent in V; maar heet deze rij ook divergent??

Madyno (overleg) 9 jul 2015 15:09 (CEST)

Een opmerking naar aanleiding hiervan. Hier op wikipedia zie ik dat een rij die niet 'convergent' is, per definitie 'divergent' is; als die definitie klopt, dan is dat het antwoord op vraag 2b. Als die definitie niet zou kloppen (maar daar ga ik nu nog niet van uit) dan zou als eerste die algemene definitie moeten worden aangepast. Dan zou je iets krijgen in de sfeer van: of convergent in V, of divergent in V, of 'onbeslist' in V. Groeten, Bob.v.R (overleg) 10 jul 2015 16:57 (CEST)

Ik denk dat vrij algemeen divergent = niet convergent. Maar dat is vooral ontstaan binnen de reele getallen. Daar is elke cauchyrij convergent, en betekent divergent echt zoiets als "niet samenkomend". Dat beeld heb ik bij divergent, zoals van een stralenbundel. Vandaar mijn vraag. Madyno (overleg) 10 jul 2015 19:03 (CEST)

Natuurlijk heb ik hetzelfde beeld als jij. Maar anderzijds, in het gegeven voorbeeld (1, 1/2, 1/3, 1/4, ...) zou men zich ook kunnen realiseren dat de Cauchyrij naar de rand van V, of sterker geformuleerd nog, naar een buiten V gelegen punt 'divergeert'. (!!) Hoe dan ook, de formele definitie is uiteindelijk leidend, vanzelfsprekend. Bob.v.R (overleg) 11 jul 2015 23:23 (CEST)

Ja, maar ik zou het zelf niet 'divergeren' willen noemen. En ik weet niet wat officieel geldt. Madyno (overleg) 12 jul 2015 00:27 (CEST)

Ik heb een bron toegevoegd. Bob.v.R (overleg) 12 jul 2015 19:15 (CEST)

Is het een andere rij als je met een andere indexwaarde begint?

Van Overleg:Reeks_(wiskunde)#Is het een andere reeks als je met een andere indexwaarde begint?:

Ik zag bij de definitie van rij dat bijvoorbeeld de rij 1, 4, 9, .. beginnend met index 1 een andere rij is dan de rij 1, 4, 9, .. beginnend met index 0, dus met $x_{n}=(n+1)^{2}$.(..) - Patrick (overleg) 8 dec 2015 14:02 (CET).

In mijn beleving bedoelen wiskundigen met 'oneindige rij' (haast?) altijd: een afbeelding op de natuurlijke getallen (en welke structuur bedoeld wordt met 'natuurlijke getallen' heeft Peano voor mij voldoende duidelijk gemaakt). Van dat hele verhaal in de intro van het lemma Rij, over indiceringen/indexeringen, teruglopende rijen (rijen zonder eerste maar met een laatste term/element), dubbeloneindige rijen, ... kan ik maar weinig volgen. Verder denk ik dat 'iedere' wiskundige met de formulevorm Σ_{n ≥0} (n+1)² dezelfde rij bedoeld als met de vorm Σ_{n ≥1} n². Namelijk de rij met als eerste term 1, als tweede term 4, etc. (.....) je neemt als voorbeeld de rij der opvolgende positieve kwadraten; bij het noteren van die rij m.b.v. een vorm met indices, kun je verschillende keuzes maken, maar daar veranderd die kwadratenrij niet door!
Ik ben erg benieuwd naar je commentaar bij mijn suggestie voor inkorting van de definitie-zin in het artikel. Hesselp (overleg) 8 dec 2015 16:06 (CET)

De index begint vaak bij 1, maar ook vaak bij 0. Als je een rij opvat als een functie dan is het zeer voor de hand liggend en gemakkelijk om de index als argument van de functie te zien. Dat betekent dat de rij 1, 4, 9, .. beginnend met index 1 een andere rij is dan de rij 1, 4, 9, .. beginnend met index 0 (functies met verschillend domein zijn sowieso verschillend, bovendien is de ene verschoven t.o.v. de andere). Aan de andere kant kan ik me voorstellen dat soms gesproken wordt over de rij 1, 4, 9, .. zonder te zeggen wat de eerste indexwaarde is, dus strikt genomen zonder precies te zeggen welke rij wordt bedoeld.

Het voor de volledigheid opsommen van vier soorten indexverzameling vind ik wel netjes. - Patrick (overleg) 8 dec 2015 20:52 (CET)

Ik vind eigenlijk dat de rij $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$ met $a_{n}=2^{n}$, dus 1, 2, 4, 8, … dezelfde is als de rij $(b_{n})_{n=1}^{\infty }$ met $b_{n}=2^{n-1}$. Hier breekt het ons op dat we soms hyperexact willen zijn.Madyno (overleg) 8 dec 2015 22:03 (CET)

Nee Madyno, dat indiceringsprobleem van Patrick heeft niet te maken met het hyperexact willen zijn, maar met het niet (kunnen?) zien van het onderscheid tussen een wiskundig gedefinieerd begrip, en de wijze van noteren (of het verbaal benoemen, dat komt ook voor) ervan. In de Reeks-discussie blijkt dat ook voortdurend.
Een rij is een functie (= een afbeelding) op de (structuur van de) natuurlijke getallen. Die structuur is uniek. Voor de objecten(elementen) in die structuur is op willekeurig veel manieren een label-systeem af te spreken. Als je het moeilijk vindt om te kiezen tussen beginindex 0 en beginindex 1, zou ik zeggen: label de termen van die kwadratenrij met als indices: a, b, c, ... (waarbij er systemen bestaan - en soms ook in de praktijk voorkomen, kijk maar eens naar onderdelen van wetsartikelen, of naar de katern-'nummering' in oude dikke boeken - om na de z onbeperkt dóór te gaan). Of doe het met "romeinse cijfers", dan ben je die keuze tussen 0 en 1 ook kwijt.

Op Patricks opmerking "Functies met verschillend domein zijn sowieso verschillend": Dat bestrijd ik niet, maar realiseer je wél dat álle oneindige rijen allemaal hetzelfde domein hebben: de Peano-structuur (ofwel: de natuurlijke getallen). Kun jij je daar bij neerleggen, Patrick? Hesselp (overleg) 8 dec 2015 23:25 (CET)

We zouden de definitie van een oneindige rij met eerste element kunnen veranderen in "Een rij in een verzameling $V$ is een afbeelding a van {0, 1, 2, ..} in $V$". De rij is dus $a(0),a(1),a(2),..$, onafhankelijk van de indexering bij indexnotatie. De rij $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$ met $a_{n}=2^{n}$, dus 1, 2, 4, 8, … , is dan dezelfde als de rij $(b_{n})_{n=1}^{\infty }$ met $b_{n}=2^{n-1}$, met $a_{n}=a(n)=2^{n}$ en $b_{n}=a(n-1)$. - Patrick (overleg) 9 dec 2015 00:07 (CET)

Patrick, jouw voorstel om de definitie van "rij" te redigeren als "Een rij in een verzameling $V$ is een afbeelding a van {0, 1, 2, ..} in $V$",   acht ik nogal ongelukkig. En wel hierom:
1. De toevoeging "in een verzameling V" is overbodig (en dus in een definitie verwarrend), want bij een rij (een afbeelding) komen de termen altijd uit een zekere doelverzameling. En waarom dat magnumformaat voor die hoofdletter; welke informatie moet een lezer hieruit halen?
2. Dat label "a" heeft hier geen functie, want het verwijst niet naar een andere plek binnen de definitie.
3. Je kiest er toch weer voor om het domein (de natuurlijke getallen, de Peano-structuur) niet aan te duiden met "de natuurlijke getallen" maar met een notatie die tot verwarring leidt (waarom het symbool "1" voor het tweede natuurlijke getal?)  (het begrip "nul" heeft niet met Peano te maken, maar met algebra: in een groepsstructuur wordt het neutrale element vaak 'nul' genoemd.)
Zonder alle 'ruis' zegt   "In de wiskunde staat rij voor: afbeelding op de natuurlijke getallen."   inhoudelijk niets minder dan jouw langere versie. Deze definitie omvat óók - je zult wel schrikken - de dingen die in het artikel 'teruglooprijen' en 'tweezijdig oneindige rijen' genoemd worden, want dat die iets anders lijken te betekenen berust alleen weer op gegoochel met indices die een verkeede suggestie wekken (zoek maar eens naar bronnen over deze zaken, speciaal bij Laurent-rijen). [Voor wie niet gewend is aan de conventie om met "rij" een oneindige rij te bedoelen, kan dit erbij gezegd.] Hesselp (overleg) 9 dec 2015 10:23 (CET)

Ad 1: Je zou twee dingen kunnen definiëren (al of niet met de een gedefinieerd in termen van de ander): een rij, en een rij in een verzameling V. In de meeste contexten is een rij te algemeen, en praat je over een rij in een bepaalde verzameling, of in een bepaald soort verzameling. - Patrick (overleg) 9 dec 2015 14:38 (CET)

Je zou je ook kunnen realiseren dat de door Patrick genoemde 'twee dingen' volstrekt on-onderscheidbaar zijn. Zo ook: een rij in een verzameling W, of in een verzameling X, of in een verzameling Y, of in een naamloze verzameling. In een tekst kan best wat meegedeeld worden over de aard van de doelverzameling van een aan de orde zijnde rij. Maar zo'n toevoeging vervuilt (hoort niet thuis in) de definitie-zin.   Akkoord Patrick? Ja of nee. Hesselp (overleg) 9 dec 2015 16:43 (CET)

Ad 2: a is inderdaad niet nodig, maar kan handig zijn om in de verdere tekst aan te refereren.Patrick (overleg) 9 dec 2015 14:38 (CET)

Dus die a weg uit het eerdere voorstel voor een definitie-zin.   Akkoord Patrick? Ja of nee. Hesselp (overleg) 9 dec 2015 16:43 (CET)

Ad 3: Er is geen overeenstemming of het getal 0 bij de natuurlijke getallen hoort, daarom schreef ik {0, 1, 2, ..} (de keuze maakt niet uit, maar het vaag houden is verwarrend). Eindige en tweezijdig oneindige rijen heb ik nog even buiten beschouwing gelaten, die vallen hier niet onder. - Patrick (overleg) 9 dec 2015 14:38 (CET)

"Er is geen overeenstemming of het getal 0.....hoort". Dat wordt wel eens geroepen, ja. Maar omdat er wél overeenstemming is over het feit dat er in de door Peano beschreven structuur (universeel aangeduid als: de natuurlijke getallen) géén sprake is van een neutraal element (wél van een eerste element), en ook dat er in een reken-structuur (minimaal een groep) wél gesproken kan van een neutraal element (en niet van een eerste element), wordt het volgende duidelijk. Namelijk dat de vraag of nul bij de natuurlijke getallen hoort, helemaal nergens op slaat. Het gaat bij die nul-één kwestie puur om een notatie-kwestie: elke notatie die handig/begrijpelijk/bekend is, mag van mij een goede notatie genoemd worden. Zo'n (kennelijk omstreden) notatie-variant hoort echter niet in de definitie-zin thuis.   Akkoord Patrick? Ja of nee. Hesselp (overleg) 9 dec 2015 16:43 (CET)

Zoals gezegd, de keuze maakt niet uit, maar het vaag houden is verwarrend. En "0" of "1" is compacter dan "het eerste element van het domein". - Patrick (overleg) 9 dec 2015 19:45 (CET)

Patrick, ik stelde dat in de betekenis-beschrijving van een vakwoord (z'n definitie dus) een verwijzing naar (een gebruiken van) - arbitraire - notatievormen niet thuishoort. Graag hoor ik of je het daar mee eens bent; dat schept duidelijkheid over het kader waarbinnen de discussie over definities voor 'rij' en 'reeks' gezien kan worden. Je antwoord op die vraag kan ik niet opmaken uit je bijdrage van 9 dec 2015 19:45. Hesselp (overleg) 10 dec 2015 11:09 (CET)

Wie nooit te maken krijgt met het begrip "aantal" of met optelling zou {0, 1, 2, ..} en {1, 2, 3, ..} als dezelfde verzameling kunnen beschouwen, met alleen een andere notatie van de elementen, maar dat is wat vergezocht. - Patrick (overleg) 10 dec 2015 14:01 (CET)

Ik weet wat je denkt, maar ik vind het niet vergezocht, maar volslagen onzin. Madyno (overleg) 10 dec 2015 14:22 (CET)

Er zou dan bijkunnen:
Een rij wordt wel genoteerd als $(b_{n})_{n=M}^{\infty }$, wat aangeeft dat indexnotatie gebruikt wordt, beginnend bij index M (voor dezelfde rij zijn meerdere waarden van M mogelijk). In termen van de genoemde afbeelding a geldt dan $b_{n}=a(n-M)$.Patrick (overleg) 9 dec 2015 15:29 (CET)

In de laatste opmerking van Patrick gaat het uitsluitend over een idee voor een notatie van een rij, en niet meer over de verwoording van de definitie. Als Patrick er nog argumenten bij geeft waarom zijn voorstel handiger is dan de gebruikelijke vormen, dan kunnen we dat beoordelen. Hesselp (overleg) 9 dec 2015 16:43 (CET)

Aan Patrick stelde ik op 9 dec 2015 16:43 (ook vermeld als 15:46) drie ja/nee vragen. Ik blijf benieuwd naar zijn drie antwoorden.  .   Hesselp (overleg) 10 dec 2015 23:02 (CET)

Ik heb inmiddels het artikel aangepast. Je kan beter op de huidige versie (waarin ik je deels tegemoet ben gekomen) reageren, en op de meest actuele discussie hierboven. - Patrick (overleg) 11 dec 2015 00:02 (CET)

Patrick, mijn drie ja/nee-vragen van 9 dec 16:43 betroffen jouw voorstel voor een definitie van 'oneindige rij' van 9 dec 00:07. Nog steeds ben ik benieuwd naar je ja's of nee's.   Uit artikel-versies is dat voor mij niet eenduidig op te maken, daar kunnen andere factoren in meespelen. Hesselp (overleg) 11 dec 2015 16:26 (CET)

In reactie op de indexerings-beschouwingen van Patrick en Madyno nog vier ja/nee vragen.
1.   Is de rij van positieve opvolgende kwadraten (beginnend met 1, 4, 9,···) wel of niet dezelfde rij als de rij (met excuus voor de te scherpe punthaakjes)   <(n+1)²)>_{n =0,1,2,···}.
2.   Idem voor de rij   <(1-n)²>_{n =0,-1,-2,···} .
3.   Is de "tweezijdig oneindige rij" der oplopende derdemachten van alle gehele getallen
(···,-27,-8,-1,0,1,8,27,···) wel of niet dezelfde rij als de rij   <(n+5)³>_{n ε {···,-2,-1,0,1,2,···}}.
4.   Idem voor de rij   <(7-n)³>_{n ε {0,-1,1,-2,2,···}}  .   Hesselp (overleg) 10 dec 2015 23:02 (CET)

1. Ja, zoals hier besproken.

2. Ja, als je bedoelt dat de volgorde van de elementen wordt bepaald door de volgorde waarin je de indexwaarden opgeeft.

3. Onbepaald, volgorde niet vermeld.

4. Onbepaald, volgorde niet vermeld.

Patrick (overleg) 10 dec 2015 23:48 (CET)

Als de conventie wordt gehanteerd dat in de rij de indexwaarden oplopen dan is 2 niet goed geformuleerd, en zijn 3 en 4 niet langer onbepaald, en is daarbij het antwoord ja (alleen is 4 rommelig geformuleerd, omdat in de opsomming van de indexwaarden de volgorde niet oplopend is). - Patrick (overleg) 11 dec 2015 08:48 (CET)

A. Als ik je goed begrijp, zeg je dat één van de twee formulevormen   <(1-n)²>_{n = 0, -1, -2,···}   en
<(1-n)²>_{n =···, -2, -1, 0}   geen (goede) rij-aanduiding is. Je laat in het midden wélke, afhankelijk van welke conventie je kiest. Ja/nee?
Kun je in het artikel aangeven welke conventie de gangbare is?
B. De formulevormen in 3 en 4 vind ik zelf géén rij-aanduidingen.
C. Je gebruikt accolades in {0,1,2,···} en {1,2,3,···}. Ook in het Rij-artikel onder 'Formeel'.   Daar zul je niet mee bedoelen dat het om verzamelingen gaat (want bij verzamelingen is de volgorde niet relevant); maar wat bedoel je er wél mee?Hesselp (overleg) 11 dec 2015 17:15 (CET)

Ad C: De {1, 2, 3, ..} in de definitie is een verzameling met totale orde, met 1 < 2 < 3 < ... Als de afbeelding a genoemd wordt dan is de corresponderende rijnotatie a(1), a(2), a(3), .. Dit verandert niet als je de verzameling zou noteren {2, 1, 3, 4, 5, ..}. - Patrick (overleg) 11 dec 2015 21:10 (CET)

Ad A: In het artikel wordt de notatie $(a_{n})_{n=M}^{N}$ gebruikt, waarbij eventueel $M=-\infty$ en $N=\infty$ kan zijn. Conventies voor de betekenis van andere notaties zijn pas relevant als we die ook willen uitleggen en gebruiken in het artikel. - Patrick (overleg) 11 dec 2015 21:30 (CET)

D. Patrick, zijn in jouw ogen de volgende twee definitie-formuleringen gelijkwaardig?
   - Een oneindige rij met eerste element is een afbeelding met domein {3,2,4,5,···}.
   - Een oneindige rij met eerste element is een afbeelding op de natuurlijke getallen.
Zo nee, kun je een voorbeeld geven dat wél aan de ene maar níét aan de andere omschrijving voldoet?   Dank voor reactie op C en op A. Hesselp (overleg) 11 dec 2015 22:17 (CET)

Als je met {3,2,4,5,···} bedoelt {3,2,4,5,6,···} dan ontbreekt de 1. Er is geen overeenstemming of het getal 0 bij de natuurlijke getallen hoort, dus de tweede definitie is niet duidelijk, maar het is in ieder geval een ander domein, dus een andere afbeelding, dus geen gelijkwaardige definitie. Sterker nog, er is geen enkele rij die aan beide definities voldoet. - Patrick (overleg) 11 dec 2015 22:52 (CET)

Als de rij $(a_{n})$ gegeven is en we bekijken een staart daarvan, zeg $(b_{n})$ met $b_{n}=a_{n+M}$, dan is $(b_{n})$ gewoon een rij die met index 1 begint, al kun je deze natuurlijk beschrijven als $(a_{n})_{n=M+1}^{\infty }$. Madyno (overleg) 11 dec 2015 11:15 (CET)

Madyno, jij schrijft vandaag over een rij (b_n) die 1 als beginindex heeft. Maar je schrijft ook, dat als ik, of iemand anders, diezelfde rij anders noteert/beschrijft/uitdrukt/weergeeft, 1 ineens niet meer z'n eigen begin-index hoeft te zijn. Ik kan dat niet volgen, het lijkt me tovenarij; uitleg graag.
Overigens schrijft Patrick (9 dec 15:29) dat een rij géén eigen vaste beginindex heeft ("voor de begin-index van een rij zijn meerdere waarden mogelijk").Hesselp (overleg) 11 dec 2015 16:49 (CET)

Madyno bedoelt blijkbaar het argument van de afbeelding uit de definitie. - Patrick (overleg) 11 dec 2015 22:44 (CET)

Over de in de artikeltekst genoemde drie soorten oneindige rijen

Min of meer los van de eerdere discussie hier een drietal vragen over de soorten oneindige rijen.
1. Als ik een tweezijdig oneindige rij spiegel, dus alle indices wisselen van teken, ontstaat er dan wel of niet een rij die verschilt van de eerste? Dezelfde vraag in formulevorm: Is de rij  Σ_{i = -∞}^+∞ a _i   een andere dan de rij   Σ_{i = -∞}^+∞ a _{- i} ?
2. Zijn er bronnen te noemen die - net als in de artikeltekst - verschil maken tussen oneindige rijen met eerste element, en oneindige rijen met laatste element? In welke anderstalige Wikipedia's wordt dit verschil gemaakt?
3. Voor welke rij-eigenschappen geldt dat zo'n eigenschap niet (niet altijd) tegelijk geldt voor beide soorten? (Dus wél voor zeg rij  (a _i)_{i ≥1}  maar niet voor z'n 'spiegelrij'  (a _{- i})_{i ≥1} )?  Zijn er nog andere dan het stijgend/dalend zijn? Hesselp (overleg) 17 dec 2015 17:46 (CET)

Ad 1: De tweede vraag is vreemd door de somtekens, maar spiegelen geeft inderdaad een andere rij. - Patrick (overleg) 17 dec 2015 23:10 (CET)

Ad 3: De definitie van de drie andere soorten rijen dan de oneindige rij met eerste element heb ik in het artikel nog even uitgewerkt. (a _{- i})_{i ≥1} is ook een oneindige rij met eerste element. Dat wordt namelijk bepaald door de "i ≥1", niet door de uitdrukking in i tussen de haakjes. - Patrick (overleg) 17 dec 2015 23:10 (CET)

Dank, Patrick, voor je reactie, en voor de nadere toevoegingen in de artikel-tekst.

Excuus voor mijn blunder in vraag 1. Met nog een wijziging wordt het nu:

1-bis. Is de rij  (a_i) _{i = −∞}^+∞   wel of niet een andere rij dan de rij  (a_i) _{i = +∞}^−∞  ?

Al eerder op deze Overlegpagina liet ik blijken dat mijn opvatting over wat de "beste" definitie is van de wiskundige term 'rij' verschilt van de opvatting als verwoord in het huidige artikel. In wat ik daar nu verder over ga zeggen bedoel ik met 'rij' alleen: óneindige rij met een grens-element (mag ik grens-term zeggen?)  [Een eindige rij wordt, meen ik, ook wel 'rijtje' genoemd, of 'tupel' (afgeleid van 'multiple'/tripel/quadrupel/octupel, ook n-tupel). En die tweezijdig oneindige rijen zijn mij vrijwel onbekend, ik zie ze alleen als rijen van machtsfuncties bij Laurent-ontwikkelingen. Ik vraag me af of het spiegelen van zo'n Laurent-rij tot merkbare consequenties leidt (omdat het dan een 'andere' rij geworden zou zijn).]

Onder de "beste" definitie(betekenisomschrijving) van 'rij', en dus de definitie die de meest prominente plaats zou verdienen in het Wikipedia-artikel, versta ik de omschrijving die - op plaatsen waar dat woord in wiskundeteksten voorkomt - het beste aansluit bij de context ter plaatse ('zoals het op die plaats door de auteur bedoeld lijkt te zijn').

Naar mijn mening past de definitie   "een afbeelding op de door Peano beschreven structuur" (ik zeg hier bewust niet: op de 'natuurlijke getallen', want die term kent meerdere interpretaties)  beter bij het praktijkgebruik van 'rij', dan de twee-sporige definitie van de huidige artikel-tekst.

Het is verleidelijk om als argument voor het 'beter zijn' te verwijzen naar bronnen, naar wat andere Wikipedia's of andere encyclopedieën of leerboeken of 'autoriteiten' zeggen. Dat kan een aanwijzing geven, maar liever zoek ik naar het beter passen in voorkomende contexten.

Daarom mijn vragen 2 en 3, de laatste nu als

3-bis. Welke eigenschap(pen) geldt(gelden)wél voor de rij  (a_i) _{i ≤ 0}   maar niet voor de rij (a_i) _{i ≥ 0}  of andersom?   Als beide in het gebruik overal verwisselbaar zijn, heeft het geen zin om een onderscheid te maken, dan schept dat alleen maar verwarring.

Ten slotte. Het verschil tussen nummer-getallen (Peano-getallen) en aantal-getallen (reken-getallen, die opgeteld en vermenigvuldigd kunnen worden, en met het probleem van wélk element als éérste te zien is; voor de elementen van Z zou nog een aparte naam gewenst zijn), komt duidelijk naar voren in het gebruik van 'Romeinse cijfers'. Die staan altijd op plaatsen waar een nummer (een volgnummer) bedoeld is, het zijn labels voor Peano-elementen. (Ik heb in 30 jaar driemaal een uitzondering gezien, afgezien van teksten ouder dan 300 jaar.) Zo zijn de indices van rij-elementen (afgezien van de symbolen waarmee ze fysiek genoteerd worden) ook nummers/volgnummers.    Vind je niet?   Hesselp (overleg) 18 dec 2015 10:56 (CET)

Ad 1-bis: Ik heb toegevoegd N - M ≥ -1 (aantal elementen is N - M + 1). (a_i) _{i = +∞}^−∞ is dus geen rij. - Patrick (overleg) 18 dec 2015 13:22 (CET)

Met al of niet $M=-\infty$ en al of niet $N=\infty$ heb je vanzelf vier mogelijkheden, een of meer uitsluiten kan altijd nog bij toepassingen waarbij die mogelijkheden niet van toepassing zijn of complicaties geven. - Patrick (overleg) 18 dec 2015 13:39 (CET)

"{1, 2, 3, ...}" is eenvoudig en concreet, en ook aan de elementen kan gemakkelijk gerefereerd worden, zoals "3". Ik zie geen reden dat ingewikkelder te maken. - Patrick (overleg) 18 dec 2015 13:29 (CET)

Patrick, je antwoord op mijn vraag 1-bis - dank - brengt me tot nog iets andere vraag-formuleringen.

1-ter. In welk opzicht zou een rij  (a _i ) _{i ε Z}   kunnen verschillen van z'n spiegelrij  (a _{− i} ) _{i ε Z}  ?

2-ter. Kun je voorbeelden/bronnen geven uit de wiskundepraktijk/literatuur, waarbij het zinvol is om een rij niet als een gewone rij te zien maar als een rij-met-laatste-element?   Of zijn die laatste-element-rijen vooralsnog alleen een privé-idee van één Wikipediaan?

3-ter. Bij een gegeven rij   (a_i) _{i ≥ 0}   hoort (bij de afspraak a_−i = a_i ) een rij   (a_i) _{i ≤ 0}  . In welke (praktijk)situatie(s) kunnen beide rijen verschillen (niet uitwisselbaar zijn)? Hesselp (overleg) 18 dec 2015 15:10 (CET)

Ad 1-ter: Je noemde hogerop zelf al iets: stijgend/dalend. Ook wordt een limiet waarbij je in de rij vooruit gaat veranderd in een limiet waarbij in de rij achteruit gaat en omgekeerd.

Ad 3-ter: Idem.

Ad 2-ter: Die laatste-element-rijen waren al door iemand anders in het artikel gezet. - Patrick (overleg) 18 dec 2015 19:48 (CET)

   Adad 1-ter. De oogst is wel erg mager. En die voorbeelden zijn géén voorbeelden meer als niet langer de structuur Z als domein genomen wordt waarin de twee richtingen onderscheiden worden door de min-maal-min-is-plus eigenschap van de vermenigvuldiging, dus een domein met een reken-structuur en niet alleen een ordening.

   Adad 2-ter. Ja, geplaatst door Madyno, 10 mei 2012. Vraag 2 was:

Zijn er bronnen te noemen die - net als in de artikeltekst - verschil maken tussen oneindige rijen met eerste element, en oneindige rijen met laatste element? In welke anderstalige Wikipedia's wordt dit verschil gemaakt?   Gevolgd door de vraag om plaatsen aan te wijzen waar dat onderscheid zinvol gebruikt wordt.

Kom op, wie heeft wel eens deze twee-soortigheid van oneindige rijen, toegepast gezien?

   Adad 3-ter. Voor beide soorten rijen geldt dat de termen alleen maar naar een limiet kunnen gaan in de richting van het start-element áf. Een het eventueel stijgend zijn van een rij wordt ook vastgelegd door vergelijking van de grootte van termen in relatie tot hun afstand tot het startpunt van de rij. Of die afstand naar links of naar rechts afgemeten wordt, doet in geen enkele situatie ter zake.

   Vraag 4. Is de rij van alle positieve, naar grootte geordende kwadraten (de rij die begint met de termen 1, 4, 9, 16, ... maar dan niet zoals hier van links naar rechts genoteerd, maar van boven naar beneden) een rij-met-eerste-term of een rij-met-laatste-term?   Of bestaat er in de wiskunde naast die twee soorten ook nog een derde soort: de van ouds bekende gewone oneindige rijen (met de Peano-structuur als domein?

Wie neemt het initiatief om dit artikel eens flink op te schonen. Zonder opsplitsing van het begrip oneindige rij die alleen bedoeld is om alvast stand-by te staan voor het geval in de toekomst de wiskunde er behoefte aan zou krijgen ("een of meer uitsluiten kan altijd nog bij toepassingen waarbij die mogelijkheden niet van toepassing zijn of complicaties geven"). Er is tot nu toe geen enkele toepassing waar die opsplitsing zin heeft. Hesselp (overleg) 18 dec 2015 21:44 (CET)

Is het een andere tweezijdig oneindige rij als alle elementen een plaats opschuiven?

Volgens de huidige definitie (die ik heb eerder heb neergezet), "Een tweezijdig oneindige rij is een afbeelding met domein $\mathbb {Z}$", is het een andere tweezijdig oneindige rij als alle elementen een plaats opschuiven. Ook denkbaar is dat je bijvoorbeeld (.., -2, -1, 0, 1, 2, ..) beschouwt als tweezijdig oneindige rij, maar dan moet de definitie aangepast worden, want als alle elementen een plaats opschuiven zie je dat niet in zo'n notatie. We kunnen ook afzien van het definiëren van een tweezijdig oneindige rij, omdat het vanwege deze complicatie toch niet zo gemakkelijk in één moeite door kan bij het definiëren van soorten rijen.- Patrick (overleg) 19 dec 2015 22:03 (CET)

Bovengenoemd probleem heb je bij die Laurent-ontwikkelingen niet (met machtsfuncties die met hun graad hun eigen 'index' tonen). Dit lijkt me de reden dat die tweezijdige rijen alleen dáár voorkomen.

Terzijde: bestaat er een definitie (of zijn er meerdere?) voor de som van zo'n kreng? Hesselp (overleg) 19 dec 2015 22:26 (CET)

Je kan de rij splitsen en het linkerdeel spiegelen, en de som van beide sommen nemen. Je kan ook de limiet nemen van de partiële som, met M naar min oneindig en N naar oneindig. Wat zo'n dubbele limiet inhoudt zou in een toevoeging bij het artikel limiet vermeld kunnen worden. - Patrick (overleg) 19 dec 2015 23:13 (CET)

In Z-transformatie#Definitie wordt de notatie $\ldots ,a_{-2},a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$ gebruikt, die suggereert dat (.., -2, -1, 0, 1, 2, ..) een voorbeeld daarvan is, maar waar vervolgens blijkt dat een afbeelding met domein $\mathbb {Z}$ bedoeld wordt (dus het wordt een andere tweezijdig oneindige rij als alle elementen een plaats opschuiven). - Patrick (overleg) 20 dec 2015 09:32 (CET)

In Laurentreeks wordt niet gesproken over de rij van coëfficiënten. - Patrick (overleg) 20 dec 2015 09:35 (CET)

Ik heb onder handhaving van de definitie "Een tweezijdig oneindige rij is een afbeelding met domein $\mathbb {Z}$" het artikel op dit punt verduidelijkt, en dienovereenkomstig Z-transformatie#Definitie aangepast. - Patrick (overleg) 22 dec 2015 08:36 (CET)

Monotonie

Wat is het verschil tussen een stijgende rij en een monotoon stijgende rij? Madyno (overleg) 6 apr 2016 00:07 (CEST)

Waar welke constructie vermelden

De oneindige rij met laatste element en de tweezijdig oneindige rij worden m.i. veel minder vaak gebruikt dan de eenzijdige vooruitlopende rij. De twee genoemde constructies lijken me iets om te vermelden in een aparte sectie aan het einde van het artikel. Bob.v.R (overleg) 5 mei 2016 19:55 (CEST)

Externe links aangepast

Hallo medebewerkers,

Ik heb zojuist 1 externe link(s) gewijzigd op Rij (wiskunde). Neem even een moment om mijn bewerking te beoordelen. Als u nog vragen heeft of u de bot bepaalde links of pagina's wilt laten negeren, raadpleeg dan deze eenvoudige FaQ voor meer informatie. Ik heb de volgende wijzigingen aangebracht:

• Archief https://web.archive.org/web/20150713052222/http://homepages.vub.ac.be/~scaenepe/wiskunde2012.pdf toegevoegd aan http://homepages.vub.ac.be/~scaenepe/wiskunde2012.pdf

Zie de FAQ voor problemen met de bot of met het oplossen van URLs.

Groet.—InternetArchiveBot (Fouten melden) 10 sep 2017 20:57 (CEST)

Equivalentie betreft ONeindige rijen

Voor maximale duidelijkheid: graag expliciet aangeven onder de subkopjes ‘Equivalente rijen’, ‘Cauchyrijen’ en ‘Divergentie’ dat het in deze gevallen om oneindige rijen gaat. Want de intro spreekt ook van eindige rijen. (Bij het gebruik van het woord ‘reeks’ in de analyse, lijkt het me tegenwoordig ongebruikelijk om te spreken van een ‘eindige reeks’, want wel of geen convergentie is dan het kernpunt.)
Wie wil driemaal ‘oneindige’ invoegen? (Ik mag het niet doen.):
- Twee oneindige rijen heten equivalent ...
- Een cauchyrij of fundamentaalrij is een oneindige rij ...
- Een oneindige rij die niet convergeert, heet divergent. Hesselp (overleg) 16 apr 2024 15:20 (CEST)