Potentiaalstroming

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Stroomlijnen in de potentiaalstroming om een NACA 0012 vleugelprofiel bij een aanstroomhoek van 11°.

In de stromingsleer is het snelheidsveld in een potentiaalstroming de gradiënt van een scalaire functie: de snelheidspotentiaal. Omdat de rotatie van een gradiënt altijd nul is, zijn potentiaalstromingen rotatievrij, hetgeen voor verschillende toepassingen een geoorloofde benadering is.

In het geval van een onsamendrukbare stroming moet de snelheidspotentiaal aan de Laplacevergelijking voldoen. Dan is potentiaaltheorie – gedefinieerd als de studie van harmonische functies – van toepassing, met een snelheidspotentiaal die specifiek geschikt is voor het bestudeerde stromingsprobleem. Maar ook voor samendrukbare stromingen, zoals bijvoorbeeld bij geluid en voor vliegtuigen bij hogere Machgetallen, wordt de potentiaalstromingsbenadering gebruikt. Verder vindt potentiaalstroming toepassing bij zowel stationaire als instationaire stromingen.

Potentiaalstroming wordt onder andere toegepast voor: het snelheidsveld rond vliegtuigvleugels (buiten grenslaag en zog), oppervlaktegolven, en grondwaterstroming. Voor stromingen – of deelgebieden in stromingsvelden – met sterke vorticiteitseffecten geeft potentiaaltheorie geen bruikbare benadering van de stroming.

Beschrijving en karakteristieken[bewerken]

Een potentiaalstroming wordt beschreven door de snelheidspotentiaal φ – een scalaire functie van positie en tijd. De stroomsnelheid v is een vectorveld dat gelijk is aan de gradiënt, ∇, van de snelheidspotentiaal φ:[1]

 \mathbf{v} = \nabla \varphi.

Soms wordt ook de definitie v = −∇φ, met een minteken, gebruikt. Hier wordt echter bovenstaande definitie toegepast, zonder het minteken. Volgens de vectoranalyse is de rotatie van een gradiënt gelijk aan nul:[1]

\nabla \times \nabla \varphi = \mathbf{0},

en daardoor is de vorticiteit, de rotatie van het snelheidsveld v, gelijk aan nul:[1]

\nabla \times \mathbf{v} = \mathbf{0}.

Dit heeft tot gevolg dat een potentiaalstroming een rotatievrije stroming is. Hetgeen directe consequenties heeft voor de toepasbaarheid. In delen van de stroming waarvan bekend is dat vorticiteit een grote invloed heeft, zoals in een zog of grenslaag, geeft potentiaaltheorie geen realistische voorspellingen van het stromingsveld.[2] Gelukkig zijn er vaak grote delen van een stromingsveld waar de aanname van een rotatievrije stroming wel geoorloofd is. Zodat potentiaalstroming toch vele toepassingen vindt, bijvoorbeeld voor: stroming rond vliegtuigen (aerodynamica), grondwaterstroming, akoestiek en zeegolven.

Onsamendrukbare stroming[bewerken]

Stroomlijnen in een onsamendrukbare potentiaalstroming rond een cirkelcylinder in een uniform stromingsveld.

Voor een onsamendrukbare stroming — bijvoorbeeld van een vloeistof, of van een gas bij lage Machgetallen; maar niet voor geluidsgolven — is het snelheidsveld v divergentievrij:[1]

\nabla \cdot \mathbf{v} =0,

waarbij de punt voor het inwendig product staat. Met als resultaat, dat de snelheidspotentiaal φ aan de Laplace-vergelijking moet voldoen[1]

\nabla^2 \varphi = 0,

met hierin ∇2= ∇·∇ de Laplace-operator (ook geschreven als Δ). Zodoende kan een onsamendrukbare potentiaalstroming volledig beschreven worden door zijn kinematica: de rotatievrijheid en divergentievrijheid van het stromingsveld. Dynamica komt er slechts achteraf aan te pas, als men ook geïnteresseerd is in de resulterende drukverdeling: bijvoorbeeld voor de stroming rond een vliegtuigvleugel kan de druk uitgerekend worden met de wet van Bernoulli.

Omdat de hele stroming kan worden beschreven zonder gebruik te maken van dynamica, beschouwde Nobelprijswinnaar Richard Feynman potentiaalstroming als zo onfysisch, dat "droog water" de enige vloeistof is die aan deze voorwaarden voldoet.[3]

In twee dimensies kan potentiaalstroming op efficiënte wijze worden beschreven met technieken uit de complexe analyse.

Externe links[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. a b c d e Batchelor (1973) pag. 99–101.
  2. Batchelor (1973) pag. 378–380.
  3. Feynman, R.P.; Leighton, R.B.; Sands, M., The Feynman Lectures on Physics, Addison-Wesley, 1964, pag. 40-3. Hoofdstuk 40 heeft de titel: The flow of dry water (De stroming van droog water).

  • (en) Batchelor, G.K., An introduction to fluid dynamics, Cambridge University Press, 1973, ISBN 0-521-09817-3
  • (en) Lamb, H., Hydrodynamics, 6de druk, Cambridge University Press [1932], 1994, ISBN 9780521458689
  • (en) Milne-Thompson, L.M., Theoretical hydrodynamics, 5de druk, Dover [1968], 1996, ISBN 0486689700