Harmonische functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de wiskunde is een harmonische functie een tweemaal continu-differentieerbare, reëelwaardige functie die voldoet aan de Laplace-vergelijking, dus waarvoor de Laplaciaan gelijk is aan 0.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

De tweemaal continu-differentieerbare functie (met een open deelverzameling van de ) heet harmonisch als op heel geldt:

.

Daarin is de Laplace-operator:

.

Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

De Laplace-operator is een lineaire afbeelding op de lineaire ruimte van de tweemaal continu-differentieerbare functies. De harmonische functies vormen de kern van de operator.

Etymologie[bewerken | brontekst bewerken]

De term "harmonisch" is afkomstig van de beweging van een punt op een strakgespannen snaar die een harmonische beweging ondergaat. De oplossing van de differentiaalvergelijking voor dit type beweging kan worden geschreven in termen van sinussen en cosinussen, dus harmonische functies.

Voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]

In twee dimensies:

  • het reële- en het imaginaire deel van een complexe functie. Zij namelijk een holomorfe functie, met reëelwaardig, dan is oneindig vaak differentieerbaar en
zodat
Analoog voor het imaginaire deel.
  • de functie ,want

In drie dimensies:

In dimensies:

  • lineaire functies op de
  • voor de functie