Quaternionengroep

Cyclegraaf van Q. Elke kleur geeft een reeks van machten aan van enig element dat verbonden is met het identiteitelement (1). De cycle in rood weerspiegelt bijvoorbeeld het feit dat i ² = −1, i ³ = −i  and i ⁴ = 1. De rode cycle geeft ook het feit weer dat (−i )² = −1, (−i )³ = i  en (−i )⁴ = 1.

In de groepentheorie is de quaternionengroup een niet-abelse groep van orde 8. De quaternionengroep wordt vaak aangeduid met Q en wordt met de volgende acht elementen als volgt in multiplicatieve vorm geschreven:

Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}

Hier is 1 het identiteitselement, (−1)² = 1, en (−1)a = a(−1) = −a voor alle a in Q. De resterende vermeningvuldigingsregels kan men verkrijgen uit de volgende relaties:

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$

De gehele Cayley-tabel (vermenigvuldigingstabel) voor Q wordt gegeven bij:

	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
1	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
−1	−1	1	−i	i	−j	j	−k	k
i	i	−i	−1	1	k	−k	−j	j
−i	−i	i	1	−1	−k	k	j	−j
j	j	−j	−k	k	−1	1	i	−i
−j	−j	j	k	−k	1	−1	−i	i
k	k	−k	j	−j	−i	i	−1	1
−k	−k	k	−j	j	i	−i	1	−1

Merk op dat de resulterende groep niet-commutatief is; bijvoorbeeld ij = −ji. Q heeft de ongebruikelijke eigenschap dat zij een Hamiltoniaan is: elke ondergroep van Q is een normale ondergroep, maar de groep is niet-abels. Elke Hamiltoniaanse groep bevat een kopie van Q.

Zie ook

• Quaternion