Reine stemming

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De reine stemming is gebaseerd op boventoonposities

De reine stemming is een stemming met een toonladder waarin de muzikale intervallen bestaan uit breuken van kleine gehele getallen: 2/1 voor het octaaf, 3/2 voor de kwint, 4/3 voor de kwart, 5/4 voor de grote terts, en 6/5 voor de kleine terts. De overige intervallen (zoals de grote en kleine secunde) worden van deze verhoudingen afgeleid. De reine stemming werd in de 16e eeuw ontwikkeld door de Italiaanse muziektheoreticus Gioseffo Zarlino.[1]

Verhouding tot de boventoonreeks[bewerken]

De reine stemming is gebaseerd op de harmonische boventoonreeks. Bij iedere toon die gespeeld of gezongen wordt klinken namelijk boventonen mee, die een veelvoud zijn van de grondtoon. De eerste boventoon klinkt bijvoorbeeld tweemaal zo hoog als de grondtoon, en kan dus weergegeven worden met de breuk 2/1. De eerste boventonen van de grondtoon hebben de volgende toonafstanden:

  • Eerste boventoon (2/1): octaaf
  • Tweede boventoon (3/1): octaaf + kwint
  • Derde boventoon (4/1): 2 octaven
  • Vierde boventoon (5/1): 2 octaven + grote terts
  • Vijfde boventoon (6/1): 2 octaven + kwint

Deze tonen kunnen op een snaarinstrument gespeeld worden door een snaar 2 keer zo kort te maken, of 3 keer zo kort etcetera.

Gebaseerd op deze boventonen kunnen de toonafstanden van de reine stemming vastgesteld worden. Een kwint komt bijvoorbeeld overeen met het verschil tussen de eerste boventoon (2/1) en de tweede boventoon (3/1) en krijgt daarom de breuk 3/2. Een reine kwart komt overeen met het verschil tussen de tweede boventoon (3/1) en de derde boventoon (4/1), en krijgt daarom de breuk 4/3. Een overzicht:

2/1 rein octaaf
3/2 reine kwint
4/3 reine kwart
5/4 grote terts
6/5 kleine terts
5/3 grote sext
8/5 kleine sext
9/8 grote secunde (grote grote secunde)
10/9 grote secunde (kleine grote secunde)
16/15 kleine secunde
1/1 reine prime

Een octaaf geldt als volmaakt consonant. Na het octaaf worden de reine kwint (3/2) en de reine kwart (4/3) als consonant ervaren. De beide tertsen en sexten worden als onvolkomen consonant beschouwd.

Opmerkelijk is dat de grote secunde op twee manieren gestemd kan worden. Ten eerste als het verschil tussen een kwint en een kwart: (3/2)/(4/3) = 9/8, ten tweede als het verschil tussen een kwart en een kleine terts: (4/3)/ (6/5) = 10/9. Er is dus een klein verschil in toonhoogte: (9/8)/(10/9) = 81/80. Dit verschil in toonhoogte wordt het didymische komma genoemd.

Toonladder van de reine stemming[bewerken]

De reine stemming levert een bruikbare reeks tonen, die onderling goed samenklinken. Daarin is de si (later ti) ontstaan als kwint van de mi.   Er zijn meerdere voorstellen gedaan om deze ladder met nog vijf 'tussentonen' aan te vullen tot een twaalftonige ladder, maar tot één canonieke versie heeft dat niet geleid. [2]

toon do re mi fa so la ti do
verhouding met grondtoon  1/1  9/8  5/4  4/3  3/2  5/3 15/8  2/1
onderling   9/8    10/9   16/15   9/8    10/9    9/8    16/15    
verschil in cent t.o.v. grondtoon 0 204 386 498 702 884 1088 1200
onderling       204    182    112     204    182     204     112        

Modulatie[bewerken]

Kwintmodulaties[bewerken]

Onderstaande tabel toont het resultaat van opeenvolgende verschuivingen van de reine grotetertstoonladder (onderaan) over telkens een reine kwint (of een reine kwart in de andere richting, dat komt op hetzelfde neer).  Nieuwe tonen zijn steeds met octaafstappen teruggebracht tot het uitgangsoctaaf.

In elke regel geldt voor twee van de zeven tonen dat ze in de regel erboven niet meer voorkomen: steeds verdwijnen de toonhoogtes van fa en la, en komen er twee nieuwe toonhoogtes bij: de ene - ti - vrijwel midden tussen de oude fa en so in, de andere - re - 22 cents (81/80, een didymisch komma) boven de oude la. Bij verschuiving over een kwint omlaag zijn het de toonhoogtes van re en ti die niet (niet precies) terugkomen.

Na drie kwintverschuivingen is er nog één oorspronkelijke toonhoogte over. Na twaalf kwintverschuivingen valt het resultaat (na zeven octaven terugschuiven) vrijwel samen met de uitgangsladder, het verschil is 23,46 cent ( (3/2)12, in de tabel 24 cent door cumulatieve afronding). Krap 1/8 hele toon.

Elke kwintverschuiving van de reine majeurladder geeft twee andere toonhoogtes;
in de cellen staat de relatieve naam van de ladderpositie en de afstand in cents tot de grondtoon linksonder.
do 24 re 228 mi 410 fa 522 so 726 la 908 ti 1112 do 1224
so 24 la 206 ti 410 do 522 re 726 mi 908 fa 1020 so 1224
re 24 mi 206 fa 318 so 522 la 704 ti 908 do 1020 re 1224
la 2 ti 206 do 318 re 522 mi 704 fa 816 so 1020 la 1202
mi 2 fa 114 so 318 la 500 ti 704 do 816 re 1020 mi 1202
ti 2 do 114 re 318 mi 500 fa 612 so 816 la 998 ti 1202
so 114 la 296 ti 500 do 612 re 816 mi 998 fa 1110
re 114 mi 296 fa 408 so 612 la 794 ti 998 do 1110
la92 ti 296 do 408 re 612 mi 794 fa 906 so 1110
mi 92 fa 204 so 408 la 590 ti 794 do 906 re 1110
ti 92 do 204 re 408 mi 590 fa 702 so 906 la 1088
fa 0 so 204 la 386 ti 590 do 702 re 906 mi 1088 fa 1200
do 0 re 204 mi 386 fa 498 so 702 la 884 ti 1088 do 1200

Tertsmodulaties[bewerken]

Bij een verschuiving van de reine majeurladder over een grote terts (5/4) verdwijnen er niet twee, maar vier tonen uit de ladder en komen er dus ook vier nieuwe bij. Na een drietal groteterts-modulaties ligt het resultaat - na octaafverschuiving - vrij dicht onder de uitgangsladder (afwijking 125/128, ofwel 41 cents).

Een modulatie over een kleine terts (6/5) vervangt ook steeds vier van de zeven laddertonen. Nu verschijnt er pas na negentien verschuivingen een goede benadering van de uitgangsladder; dat zal in de muziekpraktijk geen rol spelen, ook al is de afwijking dan nog geen 3 cents ( (6/5)19 / 25 ≈ −2,8 cent).

Tussen opvolgende laddertonen liggen meer dan twee reine modulatie-tonen[bewerken]

De tabel toont de afstanden tot grondtoon do van de tonen van de reine majeurladder, aangevuld met de tonen die ontstaan door modulatie van die ladder over een of twee (grote) tertsen of kwinten, omhoog en omlaag. Gerangschikt naar toonhoogte binnen één octaaf. Naast de frequentieverhouding tot de grondtoon do, staan de afgeronde centswaarden van het verschil met do en de afstand tot de meest nabijgelegen gelijkzwevende halve toon (minder dan 50 cents).

Reine tonen na een of twee terts- of kwintmodulaties
van de reine majeurladder (grijstint wisselt per 100 cents)
      een
modulatie
          twee
    modulaties
       afstand tot do      
verhouding    cents
do 1/1         0
la + terts 25/24        ≈ 71
re + terts + kwint 135/128        ≈ 92
fa − terts 16/15      ≈ 112
la − kwint 10/9      ≈ 182
re 9/8      ≈ 204
ti + terts 75/64      ≈ 275
fa − kwint − kwint 32/27      ≈ 294
so − terts 6/5      ≈ 316
mi 5/4      ≈ 386
re + kwint + kwint 81/64      ≈ 408
do − terts − terts 32/25      ≈ 427
la + terts + terts 125/96      ≈ 457
fa 4/3      ≈ 498
re − terts + kwint 27/20      ≈ 520
la + terts − kwint 25/18      ≈ 569
re + terts
ti + kwint
45/32      ≈ 590
fa − terts − kwint 64/45      ≈ 610
re − terts − terts 36/25      ≈ 631
ti + terts + terts 375/256      ≈ 661
la − kwint − kwint 40/27      ≈ 680
so 3/2      ≈ 702
mi + terts 25/16      ≈ 773
do − terts 8/5      ≈ 814
la 5/3      ≈ 884
re + kwint 27/16      ≈ 906
fa − terts − terts 128/75      ≈ 925
re + terts + terts 225/128      ≈ 977
fa − kwint 16/9      ≈ 996
re − terts 9/5    ≈ 1018
ti 15/8    ≈ 1088
so − terts − terts 48/25    ≈ 1129
mi + terts + terts 125/64    ≈ 1159
do 2/1      1200

Weer andere reine toonhoogten komen voor bij modulaties over een kleine terts (tweemaal een kwint minus een terts). En nog weer andere bij de verschillende modulatie-mogelijkheden van de reine mineur-toonladder. Allemaal tonen die, in tegenstelling tot de tonen van de evenredige twaalfverdeling van het octaaf, rein genoemd worden. Een muziekschrift kan die enorme verscheidenheid aan theoretisch reine toonhoogtes bij lange na niet weergeven. Dat hoeft ook niet, want de violist en de zanger zijn voor al die finesses toch op hun gehoor en gevoel aangewezen.

Zie ook[bewerken]

Externe link[bewerken]