Reine stemming

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De reine stemming is gebaseerd op boventoonposities

De reine stemming is een stemming die gebaseerd is op de harmonische boventoonreeks. De bijbehorende toonladder heeft verhoudingen die uit eenvoudige gehele getallen bestaan, wat de psychofysische basis vormt van de reine stemming. Dit levert muziek op die met name bij eenstemmigheid en soms ook bij (koor)zang als zuiver wordt ervaren.

De harmonische boventoonreeks van de eerste 5 harmonischen, dus met frequenties 2, 3, 4, 5 en 6 relatief ten opzichte van de grondtoon, levert tonen met de relatieve frequenties 2:1, 3:2, 4:3, 5:3, 5:4 en 6:5. Het zijn respectievelijk het octaaf, de kwint, de kwart, de sext, de grote terts en de kleine terts.

Een octaaf geldt als volmaakt consonant, aangezien de hogere toon eigenlijk al aanwezig is als harmonische in de lagere toon. Na het octaaf wordt de reine kwint (3:2), als het meest consonant beschouwd. Ook de reine kwart (4:3) wordt als consonant ervaren. De beide tertsen en de sext worden als onvolkomen consonant beschouwd.

De reine stemming levert een bruikbare reeks tonen, die onderling goed samenklinken. Daarin is de si ontstaan als kwint van de mi.

toon do re mi fa sol la si do
verhouding met grondtoon 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2/1
onderling 9/8 10/9 16/15 9/8 10/9 9/8 16/15
verschil in cent t.o.v. grondtoon 0 204 386 498 702 884 1088 1200
onderling 204 182 112 204 182 204 112
2/1 rein octaaf
3/2 reine kwint
4/3 reine kwart
5/4 grote terts
6/5 kleine terts
5/3 grote sext
8/5 kleine sext
9/8 grote secunde (grote grote secunde)
10/9 grote secunde (kleine grote secunde)
16/15 kleine secunde
1/1 reine prime

Verschillen met de gelijkzwevende stemming liggen o.a. in de grote terts (C-E) die 14 cent lager is dan op de piano gebruikelijk is.

Modulatie[bewerken]

In de reine stemming ziet de grotetertstoonladder van C er uit als in de volgende tabel.

toon C D E F G A B C D E F G A B C
toonafstanden tot C 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2 9/4 5/2 8/3 3 10/3 15/4 4
cent 0 204 386 498 702 884 1088 1200 1404 1586 1698 1902 2084 2288 2400

In de reine stemming zijn er twee grote secundes, namelijk C-D van 8:9 en D-E van 9:10. Dit is een probleem bij transposities van de toonladder. In de volgende tabel staat de toonladder van G.

toon C D E Fis G A B C D E Fis G A B C
toonafstanden tot G 2/3 3/4 5/6 15/16 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2 9/4 5/2 8/3
cent −702 −498 −316 −112 0 204 386 498 702 884 1088 1200 1404 1586 1698
toonafstanden tot C 1 9/8 5/4 4/3 3/2 27/16 15/8 2 9/4 5/2 8/3 3 27/8 15/4 4
cent 0 204 386 498 702 906 1088 1200 1404 1586 1698 1902 2106 1902 2400

Nu komt in plaats van de F een hogere toon Fis voor, maar het probleem schuilt in de toon A, die in de toonladder van C tot G een afstand 10/9 heeft, dus zich tot C verhoudt als 5:3, maar in de toonladder van G tot G een afstand 9/8 heeft, dus zich tot C verhoudt als 27:16. Dat verschilt een factor 81/80, het zogeheten didymische komma. De nieuwe A is 22 cents hoger, maar wordt nog steeds A genoemd, hoewel een verschil van 22 cents goed hoorbaar is.

Bij verdere transpositie naar D, wordt de C vervangen door Cis, en is een toon E nodig die, net als eerder de A, verschilt van de E in de toonladders van C en G.

Het gevolg is dat op een rein gestemd instrument niet goed gespeeld kan worden met meer dan ongeveer drie kruisen of mollen, doordat de afwijkingen te groot worden.


Onderstaande tabel toont het resultaat van opeenvolgende verschuivingen van de reine grotetertstoonladder (middelste tabelregel) over telkens een kwint. En wel zes keer een kwint omhoog (overeenkomend met telkens een kwart omlaag) en zes keer een kwint omlaag. Nieuwe tonen zijn steeds met octaafstappen teruggebracht tot het uitgangsoctaaf.
In elke regel geldt voor twee van de zeven tonen dat ze in de regel erboven niet meer voorkomen: steeds verdwijnen de toonhoogtes van fa en la, en komen er nieuwe tonen bij die 92 cts (135/128) en 22 cts (81/80, een 'didymische komma') hoger zijn. Bij verschuiving over een kwint omlaag zijn het de toonhoogtes van re en si die niet (niet precies) terugkomen.
Na drie kwint-verschuivingen is er nog één oorspronkelijke toonhoogte over. Na twaalf kwint-verschuivingen valt het resultaat (na zeven octaven terugschuiven) vrijwel samen met de uitgangsladder, het verschil is 23,46 cts (312 / 212, in de tabel 24 cts door cumulatieve afronding). Krap 1/8 hele toon.

Elke kwint-verschuiving van de reine majeurladder (elke volgende tabelregel)  geeft twee andere toonhoogtes
Toonsoort Voortekens C/Bis Des/Cis D Es/Dis E/Fes F/Eis Ges/Fis G As/Gis A Bes/Ais B/Ces C/Bis
Ges 6 mollen Des=90 Es=272 F=476 Ges=588 As=792 Bes=974 Ces=1086
Des 5 mollen C=-22 Des=90 Es=294 F=476 Ges=588 As=792 Bes=974 C=1178
As 4 mollen C=-22 Des=90 Es=294 F=476 G=680 As=792 Bes=996 C=1178
Es 3 mollen C=-22 D=182 Es=294 F=498 G=680 As=792 Bes=996 C=1178
Bes 2 mollen C=0 D=182 Es=294 F=498 G=680 A=884 Bes=996 C=1200
F 1 mol C=0 D=182 E=386 F=498 G=702 A=884 Bes=996 C=1200
C geen C=0 D=204 E=386 F=498 G=702 A=884 B=1088 C=1200
G 1 kruis C=0 D=204 E=386 Fis=590 G=702 A=906 B=1088 C=1200
D 2 kruisen Cis=92 D=204   E=408 Fis=590 G=702 A=906 B=1088
A 3 kruisen Cis=92 D=204   E=408 Fis=590 Gis=794 A=906 B=1110
E 4 kruisen Cis=92 Dis=296 E=408 Fis=612 Gis=794 A=906 B=1110
B 5 kruisen Cis=114 Dis=296 E=408 Fis=612 Gis=794 Ais=998 B=1110
Fis 6 kruisen Cis=114 Dis=296 Eis=500 Fis=612 Gis=816 Ais=998 B=1110
Cis 7 kruisen Bis=2 Cis=114 Dis=318 Eis=500 Fis=612 Gis=816 Ais=998 Bis=1202

Terts-modulaties[bewerken]

Bij een verschuiving van de reine majeurladder over een grote terts (5/4) verdwijnen er vier tonen uit de ladder en komen er dus ook vier nieuwe bij. Na een drietal groteterts-modulaties ligt het resultaat - na octaafverschuiving - vrij dicht onder de uitgangsladder (afwijking 125/128, ofwel 41 cents).
Een modulatie over een kleine terts (6/5) vervangt ook steeds vier van de zeven laddertonen. Nu verschijnt er pas na negentien verschuivingen een goede benadering van de uitgangsladder; dat zal in de muziekpraktijk geen rol spelen, ook al is de afwijking dan nog geen dan 3 cents ( (6/5)^19 / 2^5 ≈ −2,8 cts).

Tussen opvolgende laddertonen liggen meer dan twee reine modulatie-tonen[bewerken]

Onderstaande tabel beschrijft de afstanden tot grondtoon do van de tonen van de reine majeur-ladder, aangevuld met de tonen die ontstaan door modulatie van die ladder over een of twee (grote) tertsen of kwinten, omhoog en omlaag. Gerangschikt naar toonhoogte binnen één octaaf. Naast de frequentieverhouding tot de grondtoon do, staan de afgeronde centswaarden van het verschil met do en de afstand tot de meest nabijgelegen gelijkzwevende halve toon (minder dan 50 cents).

Reine tonen na een of twee terts- of kwintmodulaties
van de reine majeurladder
een
modulatie
twee
modulaties
afstand tot do      
verhouding cents (afgerond)
do 1/1       0         =       0
la + terts 25/24   100 − 29 =     71
re + terts + kwint 135/128   100   − 8 =     92
fa − terts 16/15   100 + 12 =   112
la − kwint 10/9   200 − 18 =   182
re 9/8   200   + 4 =   204
si + terts 75/64   300 − 25 =   275
fa − kwint − kwint 32/27   300   − 6 =   294
so − terts 6/5   300 + 16 =   316
mi 5/4   400 − 14 =   386
re + kwint + kwint 81/64   400   + 8 =   408
do − terts − terts 32/25   400 + 27 =   427
la + terts + terts 125/96   500 − 43 =   457
fa 4/3   500   − 2 =   498
re − terts + kwint 27/20   500 + 20 =   520
la + terts − kwint 25/18   600 − 31 =   569
re + terts
si + kwint
45/32   600 − 10 =   590
fa − terts − kwint 64/45   600 + 10 =   610
re − terts − terts 36/25   600 + 31 =   631
si + terts + terts 375/256   700 − 39 =   661
la − kwint − kwint 40/27   700 − 20 =   680
so 3/2   700   + 2 =   702
mi + terts 25/16   800 − 27 =   773
do − terts 8/5   800 + 14 =   814
la 5/3   900 − 16 =   884
re + kwint 27/16   900   + 6 =  906
fa − terts − terts 128/75   900 + 25 =   925
re + terts + terts 225/128 1000 − 23 =   977
fa − kwint 16/9 1000   − 4 =   996
re − terts 9/5 1000 + 18 = 1018
si 15/8 1100 − 12 = 1088
so − terts − terts 48/25 1100 + 29 = 1129
mi + terts + terts 125/64 1200 − 41 = 1159
do 2/1 1200         = 1200

Weer andere reine toonhoogten komen voor bij modulaties over een kleine terts (tweemaal een kwint minus een terts). En nog weer andere bij de verschillende modulatie-mogelijkheden van de reine mineur-toonladder. Allemaal tonen die, in tegenstelling tot de tonen van de evenredige twaalfverdeling van het octaaf, rein genoemd worden. Een muziekschrift kan die enorme verscheidenheid aan theoretisch reine toonhoogtes bij lange na niet weergeven. Dat hoeft ook niet, want de violist en de zanger zijn voor al die finesses toch op hun gehoor en gevoel aangewezen.

Zie ook[bewerken]

Externe link[bewerken]