Stemming van Pythagoras

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de muziekleer spreekt men van de stemming van Pythagoras in twee situaties:
- wanneer de tonen in een muziekfragment[1] geacht worden te behoren tot een reeks van zeven door zuivere kwinten gescheiden tonen plus alle octaafverschuivingen van zo’n zevental;  en
- wanneer de tonen van een instrument met twaalf vaste toonhoogten per octaaf geacht worden te behoren tot een reeks van twaalf door zuivere kwinten gescheiden tonen plus alle octaafverschuivingen van zo’n twaalftal.
In de eerste situatie kan ook gezegd dat geïntoneerd wordt volgens de diatonische pythagoreïsche toonladder;  in de tweede dat het instrument gestemd is volgens (één van de zes varianten van) de chromatische pythagoreïsche toonladder.

De stemming van Pythagoras of pythagoreïsche stemming kan gezien als een speciaal geval van reine stemming.  In meer beperkte zin wordt 'reine stemming' ook wel uitsluitend gebruikt voor muziek die gebaseerd is op de Zarlino-toonladder.

De diatonische pythagoreïsche toonladder

Wanneer zeven opvolgende tonen uit een kwintenreeks via octaafverschuiving binnen één (willekeurig te kiezen) octaaf gebracht worden, kan elk van de zeven nieuwe tonen gezien worden als grondtoon van een diatonische (7-toons) toonladder. Van één van die zeven toonladders komt het stappenpatroon overeen met de majeur-ladder (heel-heel-half-heel-heel-heel-half): de diatonische pythagoreïsche ladder (of pythagoreïsche diatonische ladder).

Toonafstanden do re mi fa so la ti do
tot grondtoon verhouding 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2
in cent 0 204 408 498 702 906 1110 1200
onderling verhouding   9/8 9/8 256/243 9/8 9/8 9/8 256/243  
in cent 204 204 90 204 204 204 90

De onderstreepte derde, zesde en zevende stap zijn in vergelijking met de Zarlino-ladder een factor 81/80 hoger (≈ 21,5 cent, het didymisch of syntonisch komma genoemd).
Zowel de pythagoreïsche ladder als de Zarlino-ladder zijn theoretische modellen voor wat een solo-violist of -zanger op het gehoor (en het gevoel) in werkelijkheid produceert. Metingen lijken erop te wijzen dat musici soms (onbewust) lijken te kiezen voor toonhoogten volgens Zarlino, en soms voor toonhoogten volgens Pythagoras; en dat dit mede afhangt van de soort muzikale figuur.[2]  Bij het reproduceren van middeleeuwse muziek wordt ook wel voor de 'stemming van Pythagoras' gekozen.

Chromatische pythagoreïsche toonladders

Wanneer twaalf opvolgende tonen uit een kwintenreeks via octaafverschuiving binnen één (willekeurig te kiezen) octaaf gebracht worden, kan elk van de twaalf nieuwe tonen gezien worden als grondtoon van een chromatische (12-toons) toonladder. Elk van die twaalf ladders is opgebouwd uit slechts twee verschillende 'halve tonen': het limma van afgerond 90 cent en het apotome van afgerond 114 cent; opgeteld zijn ze gelijk aan de 'grote hele toon' (9:8, ≈ 204 cent), afgetrokken aan het pythagoreïsche komma (≈ 24 cent).  Verder zijn in elk van die ladders elf van de twaalf kwinten zuiver: 4x90 + 3x114 = 702 cent, de overblijvende kwint is duidelijk vals: 5x90 + 2x114 = 678 cent.

Zes van die twaalf ladders bevatten de met dezelfde grondtoon beginnende diatonische pythagoreïsche ladder.  In deze chromatische pythagoreïsche ladders zorgen de verschillen in toonhoogte van de tussentonen voor zes verschillende posities van de ene niet-zuivere kwint.

Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent
limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent
Valse
kwint
C
0
C♯/D♭ D
204
D♯/E♭ E
408
F
498
F♯/G♭ G
702
G♯/A♭ A
906
A♯/B♭ B
1110
C
1200
C♯ - A♭ 114 90 90 114 90 114 90 90 114 90 114 90  
D♯ - B♭   114 90 114 90 90 114 90 114 90 90 114 90  
F♯ - D'♭   90 114 90 114 90 114 90 90 114 90 114 90  
G♯ - E'♭   114 90 90 114 90 114 90 114 90 90 114 90  
A♯ - F'    114 90 114 90 90 114 90 114 90 114 90 90  
B - G'♭   90 114 90 114 90 90 114 90 114 90 114 90  

De pythagoreïsche stemming voor de twaalf octaaftoetsen is vanaf het begin van de 16e eeuw verdrongen door middentoonstemmingen. Een middentoon-ladder ontstaat net als de (12-tonige) pythagoreïsche ladders door octaafverschuivingen naar één octaafgebied, van een 12-ledige kwintenreeks. Maar nu niet van zuivere kwinten (3/2) maar van iets 'geknepen kwinten'.[3]
Ook nu weer bestaat elk van de twaalf variant-ladders uit twee soorten halftonen: zeven van de ene soort en vijf van de andere. En ook nu weer heeft elke ladder op één van z'n tonen een zevende trap die sterk van de zuivere kwint afwijkt. Een verschil is dat de toonstappen in middentoonladders (in het theoretisch model) grotendeels irrationale verhoudingen zijn, geen verhoudingen van (soms weliswaar grote) gehele getallen zoals steeds bij pythagoreïsche ladders.

Zie ook

Externe link

Noten

  1. Alleen muziek die niet gebonden is aan de vaste toonhoogten van bijvoorbeeld een klavier-instrument.
  2. Theo Willemze, Algemene muziekleer, 18e druk 2008, paragraaf 449.
  3. Bij de 1/n-komma middentoonstemming gaat het om 'kwinten' van (3/2) / (81/80)1/n.  De kwartkomma-middentoonstemming (n = 4, veruit de meest gebruikelijke) komt voort uit een stapeling van bijna-kwint intervallen van 51/4 ≈ 1,49535 (696 cent in plaats van het zuivere 702 cent).