Lineair omhulsel

In de lineaire algebra is het lineair omhulsel of lineair opspansel van een (eindige) verzameling vectoren W de verzameling van alle lineaire combinaties van de vectoren uit W. Hierbij is W een verzameling vectoren binnen een lineaire vectorruimte V. Het lineair omhulsel van een gegeven verzameling is bijgevolg altijd een vectorruimte. Men noteert het lineair omhulsel van de vectoren v₁,...,v_n als span(v₁,...,v_n), afgeleid van de Engelse benaming linear span. Andere notaties zijn <v₁,...,v_n> en [v₁,...,v_n].

Definitie

Zij V een vectorruimte over een lichaam (in België: veld) K, dan is het lineair omhulsel van de vectoren v₁,...,v_n in V, de deelruimte

$\mathrm {span} (v_{1},\ldots ,v_{n})=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}:a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}.$

De vectoren v₁,...,v_n worden de opspannende vectoren genoemd en men zegt ook dat het lineair omhulsel door deze vectoren wordt voortgebracht.

Bijzondere gevallen

In het bijzonder geldt:

• $\mathrm {span} ()=\{0\}$
• een basis van een vectorruimte heeft als lineair omhulsel de vectorruimte zelf