Lineaire onafhankelijkheid

Binnen een vectorruimte V over een lichaam (Ned) / veld (Be) K wordt een stelsel vectoren $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ aangeduid als lineair onafhankelijk of vrij, als geen enkele van deze vectoren is te schrijven als een lineaire combinatie van de andere vectoren.

Definitie

De vectoren $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ in een vectorruimte over K heten lineair onafhankelijk, indien voor willekeurige scalairen $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in K$

$\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}+\ldots +\alpha _{n}v_{n}=0$ impliceert dat $\alpha _{1}=\alpha _{2}=\ldots =\alpha _{n}=0$.

Als de vectoren niet lineair onafhankelijk zijn, heten ze lineair afhankelijk.

De dimensie van de vectorruimte is gelijk aan het maximaal aantal lineair onafhankelijke vectoren.

Voorbeelden

Voorbeeld 1

Beschouw de vectoren (1,0) en (–1,2) in R². Om na te gaan of ze lineair afhankelijk zijn stellen we een lineaire combinatie van de twee vectoren gelijk aan de nulvector.

$a\left({1,0}\right)+b(-1,2)=\left({0,0}\right)\Leftrightarrow \left({a,0}\right)+(-b,2b)=\left({0,0}\right)\Leftrightarrow \left({a-b,2b}\right)=\left({0,0}\right)\Leftrightarrow a=0\,\,\wedge \,\,b=0$

Het blijkt dat de coëfficiënten a en b beiden 0 moeten zijn, de vectoren zijn dus lineair onafhankelijk.

Lineaire onafhankelijkheid van vectoren kan ook met behulp van een determinant onderzocht worden. Als de rijen (kolommen) lineair afhankelijk zijn, is de determinant nul en omgekeerd.

De determinant

${\begin{vmatrix}1&0\\-1&2\end{vmatrix}}$

is 2, de vectoren zijn aldus onafhankelijk.

Voorbeeld 2

Beschouw de vectoren (1,0,–2), (3,2,0) en (4,2,–2) in R³. Deze zijn lineair afhankelijk omdat elke vector geschreven kan worden als een lineaire combinatie van de overige. Zo is (4,2,–2) = (1,0,–2) + (3,2,0). Dit is equivalent met het feit dat we de nulvector kunnen schrijven als een lineaire combinatie van de drie vectoren zonder dat alle coëfficiënten 0 moeten zijn.

Daar de vectoren lineair afhankelijk zijn is de overeenkomstige determinant nul (en omgekeerd).

${\begin{vmatrix}1&0&-2\\3&2&0\\4&2&-2\end{vmatrix}}=0.$

Eigenschappen

• Een lege verzameling van vectoren is lineair onafhankelijk.
• Een deelverzameling van een stel lineair onafhankelijke vectoren is wederom lineair onafhankelijk.
• Een verzameling vectoren welke de nulvector bevat, is lineair afhankelijk.
• Een geordende verzameling vectoren, welke de nulvector niet bevat, is lineair afhankelijk als en slechts als ze een vector bevat die een lineaire combinatie is van de vorige.
• Een verzameling bestaande uit één enkele vector is lineair onafhankelijk van zodra die vector verschillend is van de nulvector.
• Als men een collectie vectoren v₁, v₂, ..., v_k van de vectorruimte Rⁿ als rijen plaatst in een matrix A dan is de rang van A gelijk aan het maximaal aantal lineair onafhankelijke vectoren dat die collectie bevat.
• Gegeven twee collecties lineair onafhankelijke vectoren $I$ en $J$, waarbij $I$ minder vectoren bevat dan $J$. Dan is er altijd een vector in $J$ die we kunnen toevoegen aan $I$, zodat de nieuwe collectie nog steeds lineair onafhankelijk is.

(In de matroïdetheorie worden bovenstaande eigenschappen als axioma's aangenomen, zodat onafhankelijkheid bestudeerd kan worden, zonder de complexe structuur van een vectorruimte)