Factorgroep: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud

In de regel

Versie van 23 aug 2017 00:19

In de groepentheorie, een deelgebied van de abstracte algebra, is een factorgroep of quotiëntgroep een groep die geconstrueerd wordt uit een gegeven groep en een normaaldeler van die groep, en die bestaat uit de nevenklassen van de normaaldeler.

Definitie

Zij $G$ een groep, en $H$ een normaaldeler van $G$ . Dit lhoudt in dat de verzameling $G/H$ van de linkernevenklassen van $H$ samenvalt met de verzameling $G\backslash H$ van de rechternevenklassen van $H$ .

Op de verzameling $G/H$ wordt een groepsbewerking $*$ gedefinieerd door het product van twee nevenklassen $aH$ en $bH$ op te vatten als de nevenklasse $abH$ van het product van $a$ en $b$ :

aH*bH=abH

.

Dit is pas een geldige definitie, als ze onafhankelijk is van de gekozen vertegenwoordiger van de nevenklassen. Dus als $c\in aH$ en $d\in bH$ , moet $cd\in abH$ . Omdat $c\in aH$ en $d\in bH$ volgt:

a^{-1}c\in H

en

b^{-1}d\in H

Maar dan ook omdat $H$ normaaldeler is:

db\in H

en

a^{-1}cdb\in H

en

b^{-1}a^{-1}cd\in H

dus

(ab)^{-1}cd\in H

zodat

cd\in abH

Men verifieert ook gemakkelijk dat deze welgedefinieerde bewerking op de verzameling der nevenklassen, aan de groepsaxioma's voldoet.

Voorbeelden en elementaire eigenschappen

Zij $\mathbb {Z}$ de optelgroep der gehele getallen, en $n\mathbb {Z}$ de deelgroep der $n$ -vouden ( $n\geq 1$ ). Dan vormt $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ , de verzameling der restklassen modulo $n$ , een cyclische groep met $n$ elementen.

Elke groep is een normaaldeler van zichzelf, en de factorgroep is de triviale groep met 1 element.

De triviale deelgroep, die bestaat uit het neutrale element, is altijd een normaaldeler. De factorgroep is isomorf met de oorspronkelijke groep.

De groep $GL(n,K)$ der omkeerbare $n\times n$ -matrices met elementen in een lichaam $K$ heeft als normaaldeler, de deelgroep $SL(n,K)$ van matrices met determinant 1. De factorgroep is isomorf met de vermenigvuldigingsgroep $K^{*}$ (de inverteerbare elementen van $K$ ).

In het algemeen is de kern van een homomorfisme van groepen steeds een normaaldeler van het domein. De bijhorende factorgroep blijkt isomorf te zijn met het beeld van het homomorfisme.

Omgekeerd is de afbeelding die elk element van een groep $G$ op zijn nevenklasse ten opzichte van de normaaldeler $H$ afbeeldt, een surjectief groepshomomorfisme van $G$ naar $G/H$ . De kern van dit homomorfisme is $H$ .

@@ Regel 1: / Regel 1: @@
-In de [[groepentheorie]], een deelgebied van de [[abstracte algebra]], is een '''factorgroep''' een [[groep (wiskunde)|groep]] die geconstrueerd wordt uit een gegeven groep ''G'' en een [[normaaldeler]] van ''G''. Een synoniem is '''quotiëntgroep'''.
+In de [[groepentheorie]], een deelgebied van de [[abstracte algebra]], is een '''factorgroep''' of '''quotiëntgroep''' een [[groep (wiskunde)|groep]] die geconstrueerd wordt uit een gegeven groep  en een [[normaaldeler]] van die groep, en die bestaat uit de [[nevenklasse]]n van de normaaldeler.
 ==Definitie==
-Zij ''G'' een groep, en ''H'' een [[normaaldeler]] van ''G''. Dit laatste impliceert dat de [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] ''G/H'' der linker [[nevenklasse]]n van ''H'' in ''G'' samenvalt met de verzameling ''H\G'' der rechter nevenklassen van ''H'' in ''G''.
+Zij <math>G</math> een groep, en <math>H</math> een [[normaaldeler]] van <math>G</math>. Dit lhoudt in dat de [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] <math>G/H</math> van de  linkernevenklassen van <math>H</math> samenvalt met de verzameling <math>G\backslash H</math> van de rechternevenklassen van <math>H</math>.
-Op deze verzameling definiëren we als volgt een [[groepsbewerking]]. Zijn ''aH'' en ''bH'' twee nevenklassen, dan noemen we het product van deze twee nevenklassen: de nevenklasse van het product van ''a'' en ''b''.
+Op de verzameling <math>G/H</math> wordt een [[groepsbewerking]] <math>*</math> gedefinieerd door het product van twee nevenklassen <math>aH</math> en <math>bH</math> op te vatten als  de nevenklasse <math>abH</math> van het product van <math>a</math> en <math>b</math>:
+:<math>aH*bH = abH</math>.
-Dit kan pas een geldige definitie zijn, als ze onafhankelijk is van de gekozen vertegenwoordiger van elke nevenklasse. Dus als ''c'' een [[element (wiskunde)|element]] is van ''aH'', en ''d'' een element van ''bH'', dan moet ''cd'' een element zijn van ''abH''. Dit kunnen we eenvoudig aantonen door gebruik te maken van het feit dat ''H'' normaal is:
+Dit is pas een geldige definitie, als ze onafhankelijk is van de gekozen vertegenwoordiger van de nevenklassen. Dus als <math>c\in aH</math> en <math>d\in bH</math>, moet <math>cd \in abH</math>.  Omdat <math>c\in aH</math> en <math>d\in bH</math> volgt:
+:<math>a^{-1}c\in H</math> en <math>b^{-1}d\in H</math>
+Maar dan ook omdat <math>H</math> normaaldeler is:
-:<math>c\in aH\wedge d\in bH</math>
-:<math>\implies a^{-1}c\in H\wedge b^{-1}d\in H</math>
+:<math>db\in H</math> en <math>a^{-1}cdb\in H</math>
+en
-:<math>\implies a^{-1}cb^{-1}d\in H</math>
-:<math>\implies b^{-1}a^{-1}cd\in H\hbox{ (normaaldeler)}</math>
+:<math>b^{-1}a^{-1}cd\in H</math>
+dus
-:<math>\implies (ab)^{-1}cd\in H</math>
-:<math>\implies cd\in abH</math>
+:<math>(ab)^{-1}cd\in H</math>
+zodat
+:<math>cd\in abH</math>
 Men verifieert ook gemakkelijk dat deze [[welgedefinieerdheid|welgedefinieerde]] bewerking op de verzameling der nevenklassen, aan de [[groepsaxioma]]'s voldoet.
 ==Voorbeelden en elementaire eigenschappen==
+Zij <math>\Z</math> de optelgroep der gehele getallen, en <math>n\Z</math> de [[ondergroep|deelgroep]] der <math>n</math>-vouden (<math>n\ge 1</math>). Dan vormt <math>\Z/n\Z</math>, de verzameling der [[restklasse]]n [[modulair rekenen|modulo]] <math>n</math>, een [[cyclische groep]] met <math>n</math> elementen.
-[[Bestand:Normal subgroup illustration.png|thumb|''N'' in de nevenklasse ''G'']]
-Zij <math>\mathbb{Z}</math> de optelgroep der gehele getallen, en <math>n\mathbb{Z}</math> de [[ondergroep|deelgroep]] der ''n''-vouden (''n'' minstens 1). Dan vormt <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>, de verzameling der [[restklasse]]n [[modulair rekenen|modulo]] ''n'', een [[cyclische groep]] met ''n'' elementen.
 Elke groep is een normaaldeler van zichzelf, en de factorgroep is de [[triviale groep]] met 1 element.
-De triviale deelgroep die bestaat uit het [[neutraal element]], is steeds een normaaldeler. De factorgroep is [[isomorfisme|isomorf]] met de oorspronkelijke groep.
+De triviale deelgroep, die bestaat uit het [[neutraal element|neutrale element]], is altijd een normaaldeler. De factorgroep is [[isomorfisme|isomorf]] met de oorspronkelijke groep.
-De groep <math>GL(n,K)</math> der omkeerbare ''n''x''n''-[[matrix (wiskunde)|matrices]] met elementen in een [[lichaam (Ned) / Veld (Be)|lichaam]] ''K'' heeft als normaaldeler, de deelgroep <math>SL(n,K)</math> der matrices met [[determinant]] 1. De factorgroep is isomorf met de vermenigvuldigingsgroep ''K''<sup>*</sup> (de omkeerbare elementen van ''K'').
+De groep <math>GL(n,K)</math> der omkeerbare <math>n\times n</math>-[[matrix (wiskunde)|matrices]] met elementen in een [[lichaam (Ned) / Veld (Be)|lichaam]] <math>K</math> heeft als normaaldeler, de deelgroep <math>SL(n,K)</math> van matrices met [[determinant]] 1. De factorgroep is isomorf met de vermenigvuldigingsgroep <math>K^*</math> (de inverteerbare elementen van <math>K</math>).
 In het algemeen is de [[kern (algebra)|kern]] van een [[homomorfisme]] van groepen steeds een normaaldeler van het domein. De bijhorende factorgroep blijkt isomorf te zijn met het beeld van het homomorfisme.
-Omgekeerd is de afbeelding die elk element van ''G'' op zijn nevenklasse ten opzichte van de normaaldeler ''H'' afbeeldt, een [[surjectief]] [[groepshomomorfisme]] van ''G'' naar ''G/H''. De kern van dit homomorfisme is ''H''.
+Omgekeerd is de afbeelding die elk element van een groep <math>G</math> op zijn nevenklasse ten opzichte van de normaaldeler <math>H</math> afbeeldt, een [[surjectief]] [[groepshomomorfisme]] van <math>G</math> naar <math>G/H</math>. De kern van dit homomorfisme is <math>H</math>.
 [[Categorie:Groepentheorie]]