Lineair omhulsel

In de lineaire algebra is, als $W$ een verzameling vectoren binnen een vectorruimte $V$ is, het lineair omhulsel of lineair opspansel van $W$ de doorsnede van alle lineaire deelruimtes van $V$ die $W$ bevatten. Het is zelf ook een lineaire deelruimte. Het is de verzameling van alle eindige lineaire combinaties van de vectoren uit $W$.

Men noteert het lineair omhulsel van de $W$ als $\mathrm {span} (W),$ afgeleid van de Engelse benaming linear span. De vectoren in $W$ worden de opspannende vectoren genoemd en men zegt ook dat het lineair omhulsel door deze vectoren wordt voortgebracht.

Definitie

Het lineair omhulsel $\mathrm {span} (S)$ van een deelverzameling $S$ van een vectorruimte $V$ is de kleinste deelruimte van $V$ die $S$ omvat, dus

$S\subseteq D\subseteq V\ {\rm {en}}\ D\ {\rm {lineaire\ ruimte}}\ \Leftrightarrow {\rm {span}}(S)\subseteq D$

Lineair omhulsel van een eindige verzameling vectoren

Zij $V$ een vectorruimte over een lichaam (in België: veld) $K$, dan is het lineair omhulsel van de vectoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in $V$, de deelruimte

$\mathrm {span} (v_{1},\ldots ,v_{n})=\{a_{1}v_{1}+\ldots +a_{n}v_{n}:a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}$

Men noteert het lineair omhulsel van de vectoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ als $\mathrm {span} (v_{1},\ldots ,v_{n}).$ Andere notaties zijn $\langle v_{1},\ldots ,v_{n}\rangle$ en $[v_{1},\ldots ,v_{n}].$

Lineair omhulsel van een oneindige verzameling vectoren

Zij $V$ een vectorruimte over een lichaam (in België: veld) $K$, dan is het lineair omhulsel van $W\subset V$, de deelruimte die bestaat uit de eindige lineaire combinaties van deze vectoren.

$\mathrm {span} (W)=\{a_{1}w_{1}+\ldots +a_{n}w_{n}:n\in \mathbb {N} ,w_{1},\ldots ,w_{n}\in W,a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}.$

Bijzondere gevallen

In het bijzonder geldt:

• $\mathrm {span} (\varnothing )=\{0\}$
• een basis van een vectorruimte heeft als lineair omhulsel de vectorruimte zelf

Verdere eigenschappen

Als een stelsel vectoren $S$ onafhankelijk is, dan is $S$ een basis van de voortgebrachte deelruimte $U.$

Meer algemeen geldt: als de vectorruimte $U$ wordt voortgebracht door het stelsel $S,$ dan bevat $S$ een basis van $U.$

De ruimte $U$ blijft het lineair omhulsel van $S$

• als men aan $S$ een vector uit $U$ toevoegt.
• als men een vector uit $S$, welke een lineaire combinatie is van de overige vectoren uit $S$, verplaatst naar $U$ \ $S$.
• als men in $S$ een vector vermenigvuldigt met een van nul verschillend getal (scalair).
• als men bij een vector uit $S$, een andere vector uit $S$ optelt.