Lemniscaat van Bernoulli

De lemniscaat van Bernoulli (Grieks: λημνίσκος, band) is een wiskundige kromme. Ze werd voorgesteld door Jakob Bernoulli in een artikel in zijn Acta Eruditorum (1694). Ze staat model voor het symbool voor oneindig (∞) in de wiskunde.

Definities

Lemniscaat als meetkundige plaats

De lemniscaat kan op verschillende manieren gedefinieerd worden. Het is de figuur met een van de volgende vergelijkingen.

• cartesiaanse vergelijking:

$(x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}-y^{2})$

• polaire vergelijking:

$r=a{\sqrt {\cos {2\theta }}}$

• parametervergelijking met parameter t (eenvoudig uit de polaire vergelijking af te leiden):

$x(t)={\frac {a\cos(t)}{1+\sin(t)^{2}}}$

$y(t)={\frac {a\sin(t)\cos(t)}{1+\sin(t)^{2}}}$

• meetkundige plaats van de punten $P$ waarvoor geldt dat het product van de afstanden tot twee vaste brandpunten $F_{1}$ en $F_{2}$ gelijk is aan het kwadraat van de helft van de onderlinge afstand tussen deze twee vaste punten. (Hiermee is het Lemniscaat van Bernouilli een bijzonder geval van de ovalen van Cassini) - punten: $F_{1}=(-a,0)$ en $F_{2}=(a,0)$

$|PF_{1}|\cdot |PF_{2}|=a^{2}$

Eigenschappen

• De bovengedefinieerde lemniscaat heeft een dubbelpunt in de oorsprong.
• De oppervlakte van elk der beide door de bovengedefinieerde lemniscaat omsloten gebieden is a².

Zie ook

• ovalen van Cassini
• Voetpuntskromme