Multivariate normale verdeling

In de kansrekening en de statistiek is de multivariate normale verdeling een speciale kansverdeling: het is het analogon van de normale verdeling in meer dimensies. De verdeling wordt ook wel met multidimensionale normale verdeling en multivariate Gaussische verdeling aangeduid.

Definitie

De stochastische vector $X=[X_{1},\dots ,X_{N}]$ heeft een multivariate normale verdeling met gemiddelde $\mu =[\mu _{1},\dots ,\mu _{N}]$ en covariantiematrix $\Sigma$ (positief definiete $N\times N$ matrix) als de kansverdeling gedefinieerd is als:

$f_{X}(x_{1},\dots ,x_{N})={\frac {1}{(2\pi )^{N/2}\left|\Sigma \right|^{1/2}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}(x-\mu )^{\top }\Sigma ^{-1}(x-\mu )\right)$

hier bij is $\left|\Sigma \right|$ is de determinant of $\Sigma$.

Notatie: $X\sim N(\mu ,\Sigma )$. Net als bij de univariate normale verdeling, is de cumulatieve kansverdelingsfunctie niet expliciet op te schrijven.

Speciaal geval: univariate normale verdeling

Als N = 1 dan krijg je de univariate (gewone) normale verdeling. Dit is direct te zien, door de formule van de kansverdeling in te vullen, nu met $\mu$ een scalair en $\Sigma$ een positief scalair:

$f_{X}(x_{1})={\frac {1}{(2\pi )^{1/2}\Sigma ^{1/2}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}(x-\mu )^{2}/\Sigma \right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma }}(x-\mu )^{2}\right)$

wanneer we $\sigma ={\sqrt {\Sigma }}$ definiëren.

Speciaal geval: bivariate normale verdeling

Als N = 2 dan krijg je de bivariate normale verdeling. Als je als notatie invoert $(x,y)=(x_{1},x_{2})$ en $\Sigma ={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&\rho \sigma \tau \\\rho \sigma \tau &\tau ^{2}\end{pmatrix}}$ (hierbij is $\rho$ de correlatiecoëfficiënt tussen X en Y), dan is de formule van de kansverdeling

$f(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma \tau {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp(-{1 \over 2(1-\rho ^{2})}(({x-\mu \over \sigma })^{2}-2\rho ({x-\mu \over \sigma })({y-\nu \over \tau })+({y-\nu \over \tau })^{2}))$.

Eigenschappen

Als $X=[X_{1},\dots ,X_{N}]\sim N(\mu ,\Sigma )$ dan geldt:

• Elke willekeurige lineaire combinatie $Y=a_{1}X_{1}+\cdots +a_{N}X_{N}$ heeft een (univariate) normale verdeling, met gemiddelde $a\cdot \mu$ en variantie $a\Sigma a^{\top }$.
• De karakteristieke functie en momentgenererende functie zijn gegeven zoals vermeld in het overzicht rechtsboven.