Stelling van Hopf-Rinow

In de Riemann-meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, staat de stelling van Hopf-Rinow voor een verzameling stellingen over de geodetische volledigheid van riemann-variëteiten. De stelling is vernoemd naar de Duitse wiskundige Heinz Hopf en diens student Willi Rinow.

Formulering van de stelling

Laat $(M,g)$ een aangesloten riemann-variëteit zijn. Dan zijn de volgende uitspraken equivalent:

1. De gesloten en begrensde deelverzamelingen van $M$ zijn compact;
2. $M$ is een volledige metrische ruimte;
3. $M$ is geodetisch volledig; dat wil zeggen dat voor elke $p\in M$, de exponentiële afbeelding $\exp _{p}$ wordt gedefinieerd op de gehele raakruimte $T_{p}M$.

Verder impliceert een van de bovenstaande formuleringen dat gegeven enige punten $p$ en $q$ in $M$, er een lengte bestaat die de geodeet die deze twee punten verbindt minimaliseert (geodeten zijn in het algemeen extrema en kunnen al of niet minima zijn).