Naar inhoud springen

Stelling van de gesloten grafiek

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

De stelling van de gesloten grafiek is een stelling uit de functionaalanalyse, een onderdeel van de wiskundige analyse. Ze kenmerkt continue lineaire afbeeldingen tussen banachruimten.

Zij en banachruimten, en een lineaire afbeelding tussen en . Hiermee bedoelen we onder meer dat het domein van de hele verzameling is. Dan zijn de volgende twee uitspraken gelijkwaardig:

  1. De grafiek van is een gesloten deel van het cartesisch product ;
  2. is continu.

Omdat banachruimten metrische ruimten zijn, kunnen beide voorwaarden geherformuleerd worden in termen van convergente rijen:

  1. Als een rij in convergeert naar een element van , dan convergeert de rij der beelden naar .
  2. Als een rij in convergeert naar een element van , en de rij der beelden convergeert naar een element van , dan is .

In deze herformulering ziet men dat de tweede voorwaarde gemakkelijk uit de eerste volgt (een rij in een metrische ruimte heeft hoogstens één limiet). De kracht van de stelling ligt dus in de omgekeerde implicatie.

Generalisatie

[bewerken | brontekst bewerken]

De stelling van de gesloten grafiek geldt nog in bepaalde soorten topologische vectorruimten die algemener zijn dan banachruimten:

Zij een tonruimte, een fréchet-ruimte, en zij een lineaire afbeelding van naar . Dan is continu als en slechts als de grafiek van gesloten is in .

Een fréchet-ruimte is een lokaal convexe topologische vectorruimte waarvan de topologie wordt voortgebracht door een volledige translatie-invariante metriek. Technisch is lokale convexiteit niet strikt noodzakelijk, en volstaat het dat een zogenaamde F-ruimte is.

Onbegrensde gesloten operatoren

[bewerken | brontekst bewerken]

In vele toepassingen van de functionaalanalyse treden operatoren op die niet continu zijn in de gebruikelijke topologie van de betrokken ruimten, bijvoorbeeld de laplace-operator of algemener de hamilton-operator in de schrödingervergelijking. In dergelijke gevallen zal men er altijd voor zorgen dat de betrokken operatoren gedefinieerd zijn op een domein dat dicht is in de bronruimte, en dat de grafiek van de operator gesloten is. De operator hoeft dan niet noodzakelijk continu te zijn, omdat zijn domein niet samenvalt met de hele bronruimte. Met spreekt dan van een (dicht gedefinieerde, niet noodzakelijk continue) gesloten operator.