Commensurabiliteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Commensurabiliteit (wiskunde))
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde heten twee reële getallen a en b, beide ongelijk aan nul, commensurabel (Latijn: gezamenlijk meetbaar), als hun quotiënt een rationaal getal is. Dat houdt in dat beide getallen een (geheel) veelvoud zijn eenzelfde reëel getal c. Er zijn dus gehele getallen m en n, en een reëel getal c , zodat:

a=mc en b=nc.

De verhouding van a en b is dus een rationaal getal:

\frac ab=\frac mn\in \mathbb{Q}.

Als er geen gemeenschappelijke maat c is, hoe klein ook, dan heten de getallen a en b incommensurabel; hun verhouding is dan een irrationaal getal.

De term 'incommensurabel' komt direct uit de Elementen van Euclides en heeft betrekking op het meten van afstanden met echte meetlatten. De Griekse wiskunde was direct op de aanschouwelijke meetkunde gebaseerd, en deze aanschouwelijkheid werd door de incommensurabiliteit doorbroken.

Voorbeelden[bewerken]

Pentagram
  • Alle natuurlijke getallen zijn commensurabel; zij hebben de vergelijkingsmaat 1.
  • Eindige aantallen breuken zijn commensurabel, want zij kunnen op één noemer N gebracht worden; een mogelijke vergelijkingsmaat is c = \tfrac 1N.
  • Alle irrationale getallen zijn incommensurabel met de breuken.
  • De zijde a van een vierkant en de lengte d van een diagonaal zijn incommensurabel, want volgens de Stelling van Pythagoras is d/a = \sqrt 2, dus irrationaal.
  • Incommensurabele lengten zijn ook te vinden in een pentagram, zoals de afstanden AD en BC in de figuur.