De Sitter-metriek

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De de Sitter-metriek of de Sitter-ruimte beschrijft op wiskundige manier hoe het universum er uit ziet volgens het de Sitter-model. Meer bepaald, het geeft de metriek van de ruimtetijd met een positieve kosmologische constante. Hoe de metriek van zo een ruimte er uitziet, wordt opgelegd door de algemene relativiteitstheorie, meer bepaald de Einstein-vergelijkingen. De metriek is genoemd naar zijn ontdekker, de Nederlandse natuurkundige Willem de Sitter.

Wiskundige eigenschappen[bewerken]

De de Sitter-metriek wordt genoteerd als dS_n. Hierbij staat n voor het aantal ruimtetijdsdimensies, dat wil dus zeggen n-1 ruimtelijke richtingen en één tijdsrichting. Het de Sitter-model, wat een vereenvoudigd model is voor het universum waarin we leven, benadert ons universum dus door de ruimte dS_4. Men kan dS_n zien als de Lorentziaanse versie van een n-sfeer. In wiskundige termen is het de maximaal symmetrische, positief gekromde ruimte met Lorentziaanse signatuur.

Definitie[bewerken]

De meest courante definitie van dS_n, is de deelruimte van een (d+1)-dimensionale Minkowski-ruimte

ds^2 =  -dx_0^2 + \sum_{i=1}^n dx_i^2.,

bepaald door de vergelijking

-x_0^2 + \sum_{i=1}^n x_i^2 = L^2.

Hierin is L een grootte met de eenheid van lengte, de de Sitter-lengte. Ruwweg bepaalt deze constante de lengteschaal geassocieerd aan de kromming. Voor een waarnemer in een de Sitter-universum, zou het verschil met een gewone vlakke ruimte voelbaar' zijn op lengteschalen van de orde van L.

De metriek op de bovenbeschreven deelruimte wordt overgeërfd van de achterliggende Minkowski-metriek. De bovenstaande vergelijking beschrijft een hyperboloïde, uitgestrekt in de tijdsrichting van de Minkowski-ruimte, en heeft dus zelf ook een tijdsrichting. Dat verklaart dus dat dS_n, net als zijn achterliggende ruimte, Lorentz-signatuur heeft. Meer concreet, we kunnen de deelruimte -x_0^2 + \sum_{i=1}^n x_i^2 = L^2 beschrijven met de coördinaten (t,y_i), als volgt:

x_0 = L\sinh(t/L)\,
x_i = L\cosh(t/L)\,y_i\,

met \sum_{i=1}^{n-1} y_i^2 =1. Dit toont aan dat dS_n topologisch gegeven is door een tijdsrichting maal een (n-1)-sfeer: \mathbb{R} \times S^{n-1}.

Als men de bovenbeschreven relaties in de oorspronkelijke Minkowsi-metriek invult, krijgt men expliciet de metriek van de Sitter-metriek:

ds^2 = -dt^2 + L^2\cosh^2(t/L)\,d\Omega_{n-1}^2.

Hierin is d\Omega_{n-1}^2 de metriek op de (n-1)-sfeer bepaald door de y_i's.

Eigenschappen[bewerken]

De isometriegroep van dS_n is de Lorentz-groep O(1,n). De Riemann-tensor is gegeven door

R_{\rho\sigma\mu\nu} = {1\over L^2}(g_{\rho\mu}g_{\sigma\nu} - g_{\rho\nu}g_{\sigma\mu})

Aangezien de Ricci-tensor een veelvoud is van de metriek,

R_{\mu\nu} = \frac{n-1}{L^2}g_{\mu\nu}

is dS_n een Einstein-ruimte, en dus een oplossing van de Einstein-vergelijkingen met een kosmologische constante  \Lambda :

 G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu}=0

met  G_{/mu/nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} de Einstein-tensor en  g de metriek. Bijgevolg is de overeenkomstige kosmologische constante gegeven door

\Lambda = \frac{(n-1)(n-2)}{2L^2}.

The scalaire kromming van de ruimte is

R = \frac{n(n-1)}{L^2} = \frac{2n}{n-2}\Lambda.

Beiden zijn inderdaad positief.

Statische coördinaten[bewerken]

De kunnen de Sitter-ruimte ook uitrusten met statische coördinaten (t, r, \ldots), met de volgende coördinaatovergang:

x_0 = \sqrt{L^2-r^2}\sinh(t/L)
x_1 = \sqrt{L^2-r^2}\cosh(t/L)
x_i = r z_i \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 2\le i\le n.

met z_i coördinaten op een (n−2)-sfeer. In deze coördinaten krijgt de Sitter-metriek de vorm:

ds^2 = -\left(1-\frac{r^2}{L^2}\right)dt^2 + \left(1-\frac{r^2}{L^2}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega_{n-2}^2.

In deze vorm ziet men goed dat voor  L \rightarrow \infty (wat fysisch overeenkomt met een limiet waarin de kromming nul wordt) inderdaad de metriek lokaal die van de gewone (vlakke) Minkowski-ruimte aanneemt.

Zie ook[bewerken]

Opmerkingen[bewerken]

Dit artikel gebruikt zogeheten mostly-plus conventies. Dat wil zeggen dat de tijdscoördinaat in de metriek een negatief teken heeft, en ook de plaats van de kosmologische term in de Einstein-vergelijking is hiervan afhankelijk. ( voor mostly-plus conventies staat deze term links, aan de kant van de Einstein-tensor.)

Referenties[bewerken]