Congruente matrices

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Gelijkvormige matrices)

In de lineaire algebra zegt men van twee vierkante matrices (over het lichaam (Ned) / Veld (Be) ) dat ze congruent zijn als er een inverteerbare matrix bestaat zodanig dat

,

waarin de getransponeerde aanduidt van .

Verband met bilineaire vorm[bewerken | brontekst bewerken]

Twee matrices zijn dan en slechts dan congruent als ze beide een grammatrix zijn van dezelfde bilineaire vorm.

Bewijs[bewerken | brontekst bewerken]

Stel dat en congruente -matrices zijn over een lichaam/veld . Kies als basis de eenheidsvectoren in en definieer de bilineaire vorm door:

Dan is voor

De vectoren vormen ook een basis en voor de bilineaire vorm met:

geldt:

dus .

Stel omgekeerd dat de matrices en beide de bilineaire vorm representeren. Dan zijn er bases en , zodat:

waarin de getallenrijtjes zijn van de coördinaten van en ten opzichte van de bases en , en de matrix van de basistransformatie is. Kennelijk is:

,

dus zijn en congruent.

Equivalentierelatie[bewerken | brontekst bewerken]

Matrix-congruentie is een equivalentierelatie, want:

  • (Reflexiviteit) Elke matrix is congruent aan zichzelf; neem de eenheidsmatrix.
  • (Symmetrie) Als congruent is met , is ook congruent met , want is inverteerbaar, dus
  • (Transitiviteit) Als congruent is met en congruent met , geldt dat er inverteerbare matrices en bestaan zodat
en
,
Hieruit volgt dat
,
en, omdat met en ook inverteerbaar is, is dus congruent met .

Zie ook[bewerken | brontekst bewerken]