Boltzmann-vergelijking

De Boltzmann-vergelijking werd afgeleid door Ludwig Boltzmann en beschrijft de ontwikkeling in de tijd van de kansverdeling van een deeltje in een gas of vloeistof. Het is een van de belangrijkste vergelijkingen in de niet-evenwichts statistische mechanica, het gebied van de statistische mechanica dat systemen ver van thermodynamisch evenwicht behandelt, bijvoorbeeld in een temperatuurgradiënt of elektrisch veld. De Boltzmann-vergelijking wordt toegepast bij onderzoek hoe een gas warmte en elektrische lading geleidt, zodat transporteigenschappen als electrische conductiviteit, Hall geleiding, viscositeit en warmtegeleiding kunnen worden berekend.

Overzicht

De Boltzmann-vergelijking beschrijft hoe de verdelingsfunctie (eigenlijk dichtheidsfunktie) f(x, p, t) in de faseruimte voor een deeltje verandert in de tijd t, waarbij x en p de plaats- en impulsvectoren. De verdeling is zo gedefiniëerd dat

$f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)\,d\mathbf {x} \,d\mathbf {p}$

het aantal moleculen is dat zich op tijdstip t binnen een volume-element $d^{3}x$ rond x bevindt en dat impulsen heeft binnen de grenzen van het blokje in de impulsruimte $d^{3}p$ rond p.

Als op deze deeltjes met verdeling f een externe kracht F werkt, dan moet f aan de volgende vergelijking voldoen, als er geen botsingen plaatsvinden.

$f(\mathbf {x} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\,dt,\mathbf {p} +\mathbf {F} \,dt,t+dt)\,d\mathbf {x} \,d\mathbf {p} =f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)\,d\mathbf {x} \,d\mathbf {p} ,$

Dat wil zeggen dat als sommige deeltjes zich op het tijdstip $t$ op plaats $\mathbf {x}$ bevinden met impuls $\mathbf {p}$, ze zich op tijdstip $t+\mathrm {d} t$ alle bevinden op plaats $\mathbf {x} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\mathrm {d} t$ met een impuls $\mathbf {p} +\mathbf {F} \mathrm {d} t$.

Maar omdat er wel botsingen optreden, verandert de dichtheid van de deeltjes in het stukje van de faseruimte dx dp.

$f(\mathbf {x} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}dt,\mathbf {p} +\mathbf {F} dt,t+dt)\,d\mathbf {x} \,d\mathbf {p} -f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)d\mathbf {x} \,d\mathbf {p} =\left.{\frac {\partial f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial t}}\right|_{\mathrm {bots} }\,d\mathbf {x} \,d\mathbf {p} \,dt$

Als we de vergelijking delen door dx dp dt en de limiet nemen, krijgen we de Boltzmann-vergelijking

${\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot {\frac {\mathbf {p} }{m}}+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}\cdot \mathbf {F} =\left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{\mathrm {bots} }.$

F(x, t) is het krachtveld dat op de deeltjes in de vloeistof werkt en m de massa van de deeltjes. De term aan de rechterzijde is toegevoegd om het effect van botsingen van de deeltjes te beschrijven. Als hij nul is botsen de deeltjes niet. De botsingsloze Boltzmann-vergelijking wordt vaak ten onrechte de Liouville-vergelijking genoemd, maar die is eigenlijk een vergelijking voor vele deeltjes (N deeltjes) - zie Theorema van Liouville.

Moleculaire chaos en de botsingsterm (Stosszahl Ansatz)

De bovenstaande Boltzmann-vergelijking is van weinig praktische waarde als de botsingsterm niet wordt aangegeven. Boltzmann bepaalde hem voor het geval dat uitsluitend botsingen tussen twee deeltjes optreden die tevoren ongecorreleerd waren. Deze veronderstelling noemde Boltzmann de 'Stosszahl Ansatz', maar heet ook wel de veronderstelling van moleculaire chaos. Dan kan de botsingsterm berekend worden als een integraal van de kansverdeling voor één deeltje in de impulsruimte:

$\left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{\mathrm {coll} }=\int \!\!\!\int g(\mathbf {p-p'} ,\mathbf {q} )\left[f(\mathbf {x} ,\mathbf {p+q} ,t)f(\mathbf {x} ,\mathbf {p'-q} ,t)-f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)f(\mathbf {x} ,\mathbf {p'} ,t)\right]\,d\mathbf {p'} \,d\mathbf {q} .$

Uitbreidingen en toepassingen

Het is mogelijk om een relativistische Boltzmann-vergelijking af te leiden voor systemen waarin verschillende soorten deeltjes met elkaar botsen en verschillende deeltjes opleveren. Zo kan het ontstaan van de lichte elementen in de nucleosynthese tijdens de Big Bang berekend worden. De Boltzmann-vergelijking wordt tevens gebruikt in de dynamica, vooral die van sterren in de galactische dynamica. Een melkwegstelsel kan onder bepaalde voorwaarden benaderd worden door een continue vloeistof. De massaverdeling wordt dan voorgesteld door de dichtheidsfunctie f. In melkwegstelsels zijn botsingen tussen sterren zeldzaam terwijl het effect van gravitationele botsingen verwaarloosd kan worden op tijdschalen langer dan de leeftijd van het heelal.

In Hamiltoniaanse mechanica wordt de Boltzmann-verdeling vaak geschreven als

${\hat {\mathbf {L} }}[f]=\mathbf {C} [f],\,$

met L de Liouville-operator die de tijdsontwikkeling van de faseruimte beschrijft en C de botsingsoperator. De niet-relativistische vorm van L is

${\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {NR} }={\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla _{\mathbf {x} }+\mathbf {F} \cdot \nabla _{\mathbf {p} },$

en de generalisatie in de algemene relativiteitstheorie luidt

${\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {GR} }=p^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }p^{\beta }p^{\gamma }{\frac {\partial }{\partial p^{\alpha }}},$

met Γ een Christoffelteken.

Zie ook

• H-theorema
• Fokker–Planck-vergelijking
• Kinetische gastheorie
• Maxwell-Boltzmann-verdeling
• Navier-Stokes-vergelijkingen
• Vlasov-vergelijking
• Vlasov-Poisson-vergelijking
• Lattice Boltzmann methoden

Literatuur

• Arkeryd, Leif: On the Boltzmann equation. II. The full initial value problem. Arch. Rational Mech. Anal. 45 (1972), 17–34.
• Arkeryd, Leif: On the Boltzmann equation. I. Existence. Arch. Rational Mech. Anal. 45 (1972), 1–16.
• Cercignani, C: Theory and application of the Boltzmann equation, Scottish Academic Press, Edinburgh & London, 1975
• Reichl, L.E,, A modern course in statistical physics, Edward Arnold, 1980 en latere drukken

Externe links

• Mathematicians Solve 140-Year-Old Boltzmann Equation
• Proof at last for 140 year old Boltzmann's equation