Navier-Stokes-vergelijkingen

De Navier-Stokes-vergelijkingen, genoemd naar Claude-Louis Navier en George Stokes, zijn partiële differentiaalvergelijkingen die de stroming van fluïda beschrijven. Die vergelijkingen zeggen, dat een verandering in impuls van een fluïdumdeel - bijvoorbeeld als een vloeistof versnelt - altijd in evenwicht is met drukgradiënten die er zijn en met de dissipatieve viskeuze kracht die inwerkt op het fluïdum. Die viskeuze kracht ontstaat door moleculaire interactie en bepaalt hoe "stroperig" (of hoe visceus) een fluïdum is. De Navier-Stokes-vergelijkingen zijn dus een dynamische uitdrukking van het krachtenevenwicht inwerkend op een willekeurig deel van een fluïdum. In feite drukken de vergelijkingen dus de wetten van Newton d(mv)/dt = F uit voor een eenheidsvolume. De vergelijkingen gelden algemeen, zolang de snelheid veel kleiner blijft dan de lichtsnelheid en zolang geen kwantumeffecten zoals supervloeibaarheid meespelen.

De vergelijkingen

De meest algemene vorm van de Navier-Stokes-vergelijkingen (eigenlijk zijn er drie, voor alle drie dimensies, maar in vectornotatie worden die in een vergelijking bijeengenomen) is:

$\rho{ \partial\vec{v} \over \partial t } + \rho(\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} =-\nabla p + \eta \nabla ^2 \vec{v} + (\lambda + \eta) \nabla (\nabla \cdot \vec{v})+\vec{f}$.

$\vec v$ is de vectoriële snelheid in m/s

ρ is massadichtheid in kg/m³

$\vec{f}$ is de krachtvector per volume die op het fluïdum werkt in N/m³, bijvoorbeeld de zwaartekracht

∇ is de nabla-operator met formeel de eenheid 1/m

De constanten $\lambda$ en $\eta$ zijn materiaalconstanten met betrekking tot de viscositeit in [Pa.s].

Dit is een niet-lineaire DV vanwege de 'meevoeringsterm' $(\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v}$.

De operator ${\partial \over \partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla)$ wordt de materiële afgeleide genoemd.

De vector $\vec{f}$ beschrijft de kracht per volume dus in N/m³. Die wordt bijvoorbeeld veroorzaakt door de zwaartekracht of de Corioliskracht voor het weer.
De druk p is in Pa.

Continuïteitsvergelijking

Zie continuïteitsvergelijking voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De wet van behoud van massa geeft:

${ \partial\mathbf{\rho} \over \partial t } + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0$

Vereenvoudigingen

Voor een onsamendrukbaar fluïdum zoals een vloeistof bij niet al te hoge drukken of een gas ver beneden de geluidssnelheid is de massadichtheid constant. Dit geeft:

$\nabla \cdot \vec{v} = 0,$.

Zo valt dus de factor met λ + η weg.

De Navier-Stokes-vergelijkingen gelden ook voor samendrukbare fluïda zoals gassen. Voor gassen ligt de viscositeit een factor 100 lager dan voor vloeistoffen, zodat in dat geval de viscositeit bij benadering te verwaarlozen is en de term met η wegvalt.

Gelijktijdige verwaarlozing van samendrukbaarheid en viscositeit geeft de stromingsvergelijkingen van Euler die dus gelden voor de stroming van weinig viskeuze vloeistoffen of voor gassen ver onder de geluidssnelheid.

Toepassingen

In praktijk lost men de vergelijkingen van Navier-Stokes op met numerieke stromingsleer: de zogenaamde CFD (Engels: Computational Fluid Dynamics). Dit gebeurt om het weer te voorspellen, brand te simuleren, vliegtuigen en auto's te ontwerpen en veel meer.

Millenniumprijsprobleem

Het "The Clay Mathematics Institute of Cambridge, Massachusetts (CMI)" heeft bij het ingaan van het nieuwe millennium in 2000 zeven "Prize Problems" opgesteld. Een wetenschappelijk panel selecteerde een zevental problemen op wiskundig gebied die al jaren op een oplossing lagen te wachten. De raad van directeuren van CMI heeft een fonds van $7 miljoen beschikbaar voor de oplossing van deze problemen, 1 miljoen dollar voor elk van de problemen. Een van de Millenniumprijsproblemen is het vinden van een oplossing van de Navier-Stokes-vergelijkingen. Voor een exacte beschrijving van het probleem zie de website van het Clay Mathematics Institute