Algebraïsch getallenlichaam

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de galoistheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een algebraïsch getallenlichaam in Nederland of algebraïsch getallenveld in België, ook korter getallenlichaam of getallenveld, een eindige, dus ook algebraïsche uitbreiding van het lichaam/veld van de rationale getallen . Het is een gevolg van de hoofdstelling van de algebra, dat ieder algebraïsch getallenlichaam een deelverzameling van de verzameling van de complexe getallen is.

Principe[bewerken]

Als aan de nulpunten van een of meer polynomen worden toegevoegd, ontstaat een algebraïsch getallenlichaam als uitbreiding van . Door aan de algebraïsche getallen toe te voegen die nulpunten zijn van een of meer polynomen, ontstaat een algebraïsch getallenlichaam dat wordt genoteerd als . Het maakt geen verschil, dat het om de uitbreiding van gaat waar algebraïsche getallen in het algemeen of waar alleen algebraïsch gehele getallen aan worden toegevoegd, omdat ieder algebraïsch getal element is van met daar één algebraïsch geheel getal aan toegevoegd.

De verzameling rationale getallen is een deelverzameling van elk algebraïsch getallenlichaam . Als opgevat wordt als een vectorruimte over , heeft een eindige dimensie, die de graad van het algebraïsche getallenlichaam genoemd wordt.

Voorbeeld[bewerken]

De getallen , een nulpunt van , en , een nulpunt van , zijn algebraïsche getallen. Het algebraïsche getallenlichaam dat ontstaat door aan de algebraïsche getallen en toe te voegen, heet . De graad van is 6.

Literatuur[bewerken]

  • (en) Serge Lang, Algebraic Number Theory, Algebraïsche getaltheorie, 2e ed, Springer, 2000