Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
De eerste vijf Chebyshev-polynomen De Chebyshev-polynomen zijn genoemd naar Pafnoeti Lvovitsj Tsjebysjev (Chebyshev in de Engelse transliteratie ) en zijn gedefinieerd door
T
n
(
cos
(
θ
)
)
=
cos
(
n
θ
)
{\displaystyle T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )}
voor
n
=
0
,
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle n=0,1,2,3,\ldots }
Ze zijn de oplossingen van de Chebyshev-differentiaalvergelijking :
(
1
−
x
2
)
d
2
y
d
x
2
−
x
d
y
d
x
+
n
2
y
=
0
{\displaystyle (1-x^{2}){{\rm {d}}^{2}y \over {\rm {d}}x^{2}}-x{{\rm {d}}y \over {\rm {d}}x}+n^{2}y=0}
die overigens door de substitutie
y
~
(
θ
)
=
y
(
cos
(
θ
)
)
{\displaystyle {\tilde {y}}(\theta )=y(\cos(\theta ))}
vereenvoudigt tot:
y
~
″
+
n
2
y
~
=
0
{\displaystyle {\tilde {y}}''+n^{2}{\tilde {y}}=0}
waaruit eenvoudig te zien is dat
y
~
(
θ
)
=
cos
(
n
θ
)
)
{\displaystyle {\tilde {y}}(\theta )=\cos(n\theta ))}
een oplossing is.
De eerste tien Chebyshev-polynomen zijn:
T
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle T_{0}(x)=1}
T
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle T_{1}(x)=x}
T
2
(
x
)
=
2
x
2
−
1
{\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1}
T
3
(
x
)
=
4
x
3
−
3
x
{\displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x}
T
4
(
x
)
=
8
x
4
−
8
x
2
+
1
{\displaystyle T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1}
T
5
(
x
)
=
16
x
5
−
20
x
3
+
5
x
{\displaystyle T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x}
T
6
(
x
)
=
32
x
6
−
48
x
4
+
18
x
2
−
1
{\displaystyle T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1}
T
7
(
x
)
=
64
x
7
−
112
x
5
+
56
x
3
−
7
x
{\displaystyle T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x}
T
8
(
x
)
=
128
x
8
−
256
x
6
+
160
x
4
−
32
x
2
+
1
{\displaystyle T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1}
T
9
(
x
)
=
256
x
9
−
576
x
7
+
432
x
5
−
120
x
3
+
9
x
{\displaystyle T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x}
Recursie De polynomen staan in de volgende recursieve relatie:
T
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle T_{0}(x)=1}
T
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle T_{1}(x)=x}
T
n
+
1
(
x
)
=
2
x
T
n
(
x
)
−
T
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)}
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
Graad Dat
cos
(
n
x
)
{\displaystyle \cos(nx)}
n
{\displaystyle n}
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
formule van De Moivre :
cos
(
n
x
)
=
ℜ
(
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
)
n
{\displaystyle \cos(nx)=\Re (\cos(x)+i\ \sin(x))^{n}}
De termen daarin met
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(x)}
sin
2
(
x
)
=
1
−
cos
2
(
x
)
{\displaystyle \sin ^{2}(x)=1-\cos ^{2}(x)}
Orthogonaliteit Deze polynomen zijn orthogonaal ten opzichte van de gewichtsfunctie
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
op het interval [-1,1], d.w.z. dat
∫
−
1
1
T
n
(
x
)
T
m
(
x
)
d
x
1
−
x
2
=
0
als
n
≠
m
{\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=0\quad {\mbox{als}}\ n\neq m}
Dit is het gevolg van de relatie (neem
x
=
cos
(
θ
)
{\displaystyle x=\cos(\theta )}
∫
0
π
cos
(
n
θ
)
cos
(
m
θ
)
d
θ
=
0
als
n
≠
m
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos(n\theta )\cos(m\theta )\,{\rm {d}}\theta =0\quad {\mbox{als}}\ n\neq m}
Chebyshevpolynomen worden onder andere gebruikt in de numerieke wiskunde om benaderingen van functies te vinden.
Zie ook 
).svg)
