Conservatief vectorveld

Een conservatief vectorveld, ook exact vectorveld is een vectorveld dat de gradiënt (de "helling") is van een scalair veld (een functie op een meerdimensionale ruimte), in deze context de (scalaire) potentiaal genoemd. Een conservatief vectorveld heeft de eigenschap dat de lijnintegraal onafhankelijk is van het gekozen pad, dat wil zeggen dat de waarde van de lijnintegraal voor elk gekozen pad tussen de punten $A$ en $B$ dezelfde waarde zal opleveren.

Toepassingen

Conservatieve vectorvelden spelen een belangrijke rol in de natuurkunde, onder andere in de vorm van de krachten die werken in een gesloten systeem, d.i. als de energie behouden blijft. Dit maakt het mogelijk potentiële energie te definiëren onafhankelijk van het gekozen pad.

Definitie

Een vectorveld ${\vec {F}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ heet conservatief, als er een functie

$\varphi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

is, zodanig dat:

${\vec {F}}=\nabla \varphi$.

De functie $\varphi$ wordt de potentiaal van het veld genoemd.

De operator $\nabla$ (nabla) is de gradiënt.

Stellingen

• Een conservatief vectorveld ${\vec {F}}$ is rotatievrij m.a.w. $\nabla \times {\vec {F}}={\vec {0}}$
• Als er een gebied is waar een vectorveld rotatievrij en continu differentieerbaar is, dan is dat vectorveld conservatief in dat gebied.
• De lijnintegraal van een conservatief vectorveld is onafhankelijk van de gevolgde weg. Voor elke kromme ${\mathcal {C}}$ van het punt $A$ naar het punt $B$ geldt:

$\int _{\mathcal {C}}{\vec {F}}\cdot {\vec {\mathrm {d} P}}=\varphi (B)-\varphi (A)$.

• Uit de voorgaande stelling volgt dat een kringintegraal in een enkelvoudig samenhangend gebied van een conservatief vectorveld dat in het beschouwde gebied conservatief is, gelijk is aan 0.