Dicyclische groep

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een dicyclische groep een element van een klasse van groepen $\mathrm {Dic} _{n}$ met $n>1$, een niet-abelse groep met orde $4n$, die een uitbreiding is van de cyclische groep van orde 2 met een cyclische groep van even orde $2n$, wat de groep de naam di-cyclisch geeft. In de notatie van exacte rijen van groepen kan deze uitbreiding worden uitgedrukt als

$1\to C_{2n}\to \mathrm {Dic} _{n}\to C_{2}\to 1$

Meer in het algemeen kan men, gegeven een abelse groep met een element van orde 2, een dicyclische groep definiëren.

Definitie

De dicyclische groep $\mathrm {Dic} _{n}$ met $n>1$ wordt voortgebracht door twee elementen $a$ en $b$ die aan de volgende presentatie voldoen:

${\rm {Dic}}_{n}=\langle a,b\mid a^{2n}=1,b^{2}=a^{n},b^{-1}ab=a^{-1}\rangle$

Eigenschappen en voorbeelden

• Ieder element van $\mathrm {Dic} _{n}$ kan eenduidig worden geschreven als $a^{k}b^{j}$ met $0\leq k<2n$ en $j=0$ of $j=1$.
• De orde van $\mathrm {Dic} _{n}$ is $4n$.
• De dicyclische groep $\mathrm {Dic} _{n}$ heeft een cyclische ondergroep van de orde $2n$ voortgebracht door het element $a$ en een cyclische ondergroep van de orde $4$ voortgebracht door het element $b$. De ondergroep voortgebracht door $a$ heeft in ieder geval een ondergroep van de orde $n$ voortgebracht door $a^{2}$ en afhankelijk van de waarde van $n$ mogelijk nog andere ondergroepen. De ondergroep voortgebracht door $b$ heeft een ondergroep van de orde 2 voortgebracht door $b^{2}$.
• ${\rm {Dic}}_{1}\cong \mathbf {V} _{4}$, de viergroep van Klein
• ${\rm {Dic}}_{2}\cong \mathbf {Q}$, de quaternionengroep
• Er kunnen aan de hand van de relaties vastgelegd in de presentatie verschillende vermeningvuldigingsregels tussen $a$ en $a$ worden bepaald, bijvoorbeeld

$b^{2}a^{k}=a^{k+n}=a^{k}b^{2}$ en

$a^{k}b\,a^{m}b=a^{k-m+n}$

Uitgewerkt voorbeeld

De groep $\mathrm {Dic} _{3}$ bestaat uit de 12 elementen:

$1,a,a^{2},a^{3},a^{4},a^{5},b,ab,a^{2}b,a^{3}b,a^{4}b,a^{5}b$

$\mathrm {Dic} _{3}$ is isomorf met een ondergroep van de quaternionen, of kan worden voorgesteld door de keuze $a={\tfrac {1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$ en $b=j$. Er geldt immers:

$a^{3}=\left({\tfrac {1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{3}={\tfrac {1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}={\tfrac {1}{8}}+i{\tfrac {3{\sqrt {3}}}{8}}-{\tfrac {9}{8}}-i{\tfrac {3{\sqrt {3}}}{8}}=-1$

dus

$a^{6}=1$

$b^{2}=-1=a^{3}$

$b^{-1}a\,b=-j{\tfrac {1}{2}}j-ji{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}j={\tfrac {1}{2}}-i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}=\alpha ^{-1}$