Half-continuïteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het begrip half-continuïteit is zwakker dan het begrip continuïteit. Dat wil zeggen, een continue functie is altijd half-continu, maar niet omgekeerd. Uit de definitie van continuïteit is de helft van de voorwaarden weggelaten. Ter verduidelijking:

Laat een open interval zijn en .

De definitie van f is continu luidt:

Voor iedere en iedere is er een zodanig dat als en , dan is en .

Deze definitie splitsen we in twee stukken:

Definitie:
Laat zijn.
f heet half-continu van beneden (of semi-continu van beneden) als voor iedere en iedere er een bestaat zó dat en impliceren dat .
f heet half-continu van boven (of semi-continu van boven) als voor iedere en iedere er een bestaat zó dat en impliceren dat .

Voorbeelden[bewerken]

Een half-continue functie van boven. De gesloten stippen behoren tot de grafiek van de functie, de open stippen niet.

Als , dan is de karakteristieke functie dan en slechts dan half-continu van boven als D gesloten is.

In het bijzonder is half-continu van boven voor elk element . Deze functie is noch rechts, noch links continu in a. Een ander bekend voorbeeld van een van boven half-continue functie is de Entierfunctie .

Een half-continue functie van beneden. De gesloten stippen behoren tot de grafiek van de functie, de open stippen niet.

Als , dan is de karakteristieke functie dan en slechts dan half-continu van beneden als D open is.

Algemenere definitie[bewerken]

Als een topologische ruimte is, dan is half-continu van boven in , als er voor elke er een open verzameling bestaat die u omvat zodanig dat voor elke . Een functie is half-continu van boven als hij half-continu van boven is in elk van de punten van zijn definitiegebied.

Voor de half-continuïteit van boven van een functie kan als alternatief ook de volgende definitie gebruikt worden:

Als een topologische ruimte is, dan is half-continu van boven, als open is voor elke a.

Als een topologische ruimte is, dan is half-continu van beneden in , als er voor elke er een open verzameling bestaat die u omvat zodanig dat voor elke . Een functie is half-continu van beneden als hij half-continu van beneden is in elk van de punten van zijn definitiegebied.

Voor de half-continuïteit van beneden van een functie kan als alternatief ook de volgende definitie gebruikt worden:

Als een topologische ruimte is, dan is half-continu van beneden, als open is voor elke a.

Eigenschappen[bewerken]

  • Een functie is continu dan en slechts dan als hij zowel half-continu van boven als half-continu van beneden is.
  • Als f en g half-continu zijn van beneden en , dan zijn en half-continu van beneden.

Als bovendien , dan is ook half-continu van beneden.

  • De uniforme limiet van een rij van beneden half-continue functies is zelf ook weer half-continu van beneden.
  • Een van beneden half-continue functie is een puntsgewijze limiet van een stijgende rij continue functies
  • Een van beneden half-continue functie gedefinieerd op een compacte verzameling heeft een minimum.
  • De verzameling van van beneden half-continue functies is gesloten onder willekeurige suprema en eindige infima, dat wil zeggen

als S een verzameling van van beneden half-continue functies is, en f en g zijn elementen van S, dan is

half-continu van beneden evenals

Analoge eigenschappen zijn er voor functies die half-continu zijn van boven. Bijvoorbeeld: De verzameling van van boven half-continue functies is gesloten onder willekeurige infima en eindige suprema.

Referenties[bewerken]

  • van Rooij A.C., Schikhof W.H., A Second Course on Real Functions, Cambridge University Press, 1982. ISBN 0521283612.