Dit is een oude versie van deze pagina, bewerkt door Madyno(overleg | bijdragen) op 11 dec 2019 om 18:26.
Deze versie kan sterk verschillen van de huidige versie van deze pagina.
De punten en worden wel harmonische verwanten ten opzichte van genoemd.
Harmonische ligging betekent dat de dubbelverhouding gelijk is aan −1.
Constructie
Constructie met behulp van een cirkel
Gegeven drie punten en die op één lijn liggen. Men kan het punt zo construeren dat en harmonisch liggen.
Neem een punt niet op de lijn door en , en op het lijnstuk een punt . Laat het snijpunt zijn van en , en het snijpunt van en . Het snijpunt van en is het gevraagde punt .
Als en harmonisch liggen en het midden is van , dan geldt
,
.
Harmonische ligging van lijnen
Daar het begrip dubbelverhouding gedefinieerd is voor een vierstraal − dit is een geordend viertal coplanaire, concurrente, rechte lijnen − kan men ook harmonische ligging van zo'n vierstraal definiëren. De vierstraal is harmonisch als zijn dubbelverhouding gelijk is aan −1.
Volgende uitspraken zijn dan gelijkwaardig.
De vierstraal is harmonisch.
De lijnen en liggen harmonisch ten opzichte van de lijnen en .
Lijn is harmonisch toegevoegd aan lijn ten opzichte van de lijnen en .
Voorbeelden
De bissectrices van twee lijnen liggen harmonisch ten opzichte van die twee lijnen.
Twee diagonalen van een volledige vierhoek liggen harmonisch ten opzichte van de zijden door hun snijpunt
De poollijn van een punt , ten opzichte van de rechten en met snijpunt , is de lijn harmonisch toegevoegd aan de lijn ten opzichte van de lijnen en .