Laplacetransformatie

De laplacetransformatie, genoemd naar Pierre-Simon Laplace, is een wiskundige techniek die wordt gebruikt voor het oplossen van lineaire integraal- en differentiaalvergelijkingen. In de elektrotechniek en regeltechniek is de laplacetransformatie een zeer nuttig gereedschap bij het doorrekenen van in- en uitschakelverschijnselen, oftewel niet-stationaire verschijnselen. De laplacetransformatie is een belangrijk voorbeeld van een integraaltransformatie.

Definitie

Stel f(t) is een functie van t, gedefinieerd voor t ≥ 0. Onder de laplacegetransformeerde van f verstaan we de functie F, gedefinieerd voor complexe s door:

$F(s)=\left({\mathcal {L}}f\right)(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t$.

Omdat f in veel toepassingen een functie van de tijd is, wordt f wel de tijdfunctie genoemd. De laplacegetransformeerde F heet wel de beeldfunctie.

Notatie

Voor de eenvoud van notatie schrijven we hier en in het vervolg soms:

${\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)$ in plaats van $({\mathcal {L}}f)(s)$

om duidelijk te kunnen aangeven welke functie f bedoeld wordt.

Causale functies

De integratie wordt soms ook gerekend vanaf $-\infty$ in plaats van 0. Er wordt dan stilzwijgend aangenomen dat f(t) = 0 voor t < 0 (f is causaal). Men noemt een functie $f(t)$ causaal als geldt dat $f(t)=0$ voor $t<0$. $f(t)$ kan dan worden opgevat als een tijdsafhankelijke respons op een excitatie-functie die ook gelijk is aan nul voor $t<0$.

Een willekeurige functie $g(t)$ kan men causaal maken met behulp van de heaviside-functie $H(t)$ door:

$f(t)=g(t)\cdot H(t)={\begin{cases}0&t<0\\g(t)&t>=0\end{cases}}$

Convergentie

De laplacegetransformeerde is niet altijd convergent (en dus niet altijd gedefinieerd): de laplacegetransformeerde van f(t) bestaat voor een bepaalde waarde van het complexe getal s als bovenstaande integraal convergeert voor deze waarde. Als de integraal convergeert voor een reëel getal σ, convergeert hij voor alle complexe getallen s met $\Re s>\sigma$. Het kleinste reële getal σ zodat de integraal convergeert voor alle s met $\Re s>\sigma$ (indien dit bestaat) heet de convergentieabscis.

Voldoende voorwaarden voor convergentie

• f(t) is stuksgewijs continu op elk interval t₁ < t < t₂, met t₁ > 0
• f(t) is van exponentiële orde voor alle t > t_n

Inverse

De inverse laplacetransformatie kan via een complexe integraal gevonden worden.

Vaak echter wordt de laplacegetransformeerde geschreven als een lineaire combinatie van laplacegetransformeerden van bekende functies. De oorspronkelijke functie is dan dezelfde lineaire combinatie van de betrokken bekende functies.

Als de laplacegetransformeerde een rationele functie is, kan deze de breuk door breuksplitsen geschreven worden als een som van bekende laplacegetransformeerden. Het eenvoudigste geval is dat waarbij de noemer geen complexe of meervoudige nulpunten heeft. De getransformeerde kan dan geschreven worden als (we noteren de reële nulpunten van de noemer als α₁,α₂):

$({\mathcal {L}}f)(s)={\frac {A}{s-\alpha _{1}}}+{\frac {B}{s-\alpha _{2}}}+...$,

zodat de gezochte inverse functie f(t) gevonden wordt als:

$f(t)=Ae^{\alpha _{1}t}+Be^{\alpha _{2}t}+...$

Voorbeeld

We weten dat de getransformeerde van een functie gelijk is aan ${\frac {3s-2}{s(s-1)}}$, de nulpunten van de noemer zijn verschillend en reëel, we splitsen in twee breuken:

${\frac {3s-2}{s(s-1)}}={\frac {2(s-1)+s}{s(s-1)}}={\frac {2}{s}}+{\frac {1}{s-1}}$

zodat de originele functie is:

$f(t)=(2+e^{t})$, voor $t\geq 0$

Eigenschappen

De volgende eigenschappen kunnen aangetoond worden (na substituties, merk op dat hierbij de integratiegrenzen niet aangepast dienen te worden):

• Lineariteit

${\mathcal {L}}(af+bg)=a{\mathcal {L}}f+b{\mathcal {L}}g$

• Verschuiving in het tijd-domein

${\mathcal {L}}\{f(t-a)\}(s)=e^{-as}F(s)$

• Verschuiving in het laplace-domein

${\mathcal {L}}\{e^{at}f(t)\}(s)=F(s-a)$

• Schaling in het tijd-domein

${\mathcal {L}}\{f(at)\}(s)={\tfrac {1}{a}}F\left({\tfrac {s}{a}}\right)$

• Getransformeerde van de afgeleide

${\mathcal {L}}(f')(s)=sF(s)-f(0)$

Indien f(t) niet continu is in t = 0, dan is

${\mathcal {L}}(f')(s)=sF(s)-f(0_{+})$

Indien f(t) niet continu is in t = a, dan is

${\mathcal {L}}(f')(s)=sF(s)-f(0)-e^{-as}\left\{f(a_{+})-f(a_{-})\right\}$

Algemeen voor hogere afgeleiden

${\mathcal {L}}(f^{(n)})(s)=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\ldots -sf^{n-2}(0)-f^{n-1}(0)$

• Getransformeerde van de primitieve

${\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(u)\,\mathrm {d} u\right\}(s)={\tfrac {1}{s}}F(s)$

• Getransformeerde van tⁿf(t)

${\mathcal {L}}\{t^{n}f(t)\}(s)=(-1)^{n}{\frac {d^{n}F(s)}{ds^{n}}}=(-1)^{n}F^{n}(s)$

• Getransformeerde van f(t) / t

${\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}(s)=\int _{s}^{\infty }F(u)\,\mathrm {d} u$

• Periodieke functies (f(t) = f(t+T))

${\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)={\mathcal {L}}\{f(t+T)\}(s)={\frac {1}{1-e^{-sT}}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t$

• Beginwaardetheorema

$\lim _{t\to 0}f(t)=\lim _{s\to \infty }sF(s)$

• Eindwaardetheorema

$\lim _{t\to \infty }f(t)=\lim _{s\to 0}sF(s)$

• Gedrag voor s naar oneindig

$\lim _{s\to \infty }({\mathcal {L}}f)(s)=0$

• Convolutietheorema of ook De Formule van Borel genoemd

$({\mathcal {L}}(f*g))(s)=({\mathcal {L}}f)(s)({\mathcal {L}}g)(s)$

Verband met andere transformaties

met fouriertransformatie

De continue fouriertransformatie is equivalent met de tweezijdige laplace-integraal, indien we als argument $s=i\omega$ nemen:

$F(\omega )=({\mathcal {L}}f)(s)|_{s=i\omega }=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,\mathrm {d} t$.

Laplacegetransformeerden van enkele functies

${\mathcal {L}}\{a\}(s)={\frac {a}{s}}$

${\mathcal {L}}\{at\}(s)={\frac {a}{s^{2}}}$

${\mathcal {L}}\{at^{q}\}(s)=a\cdot {\frac {\Gamma (q+1)}{s^{q+1}}}$ waarbij Γ staat voor de gammafunctie

${\mathcal {L}}\{at^{n}\}(s)=a\cdot {\frac {n!}{s^{n+1}}}$ waarbij $n\in \mathbb {N}$

${\mathcal {L}}\{e^{at}\}(s)={\frac {1}{s-a}}$

${\mathcal {L}}\{\sin(at)\}(s)={\frac {a}{s^{2}+a^{2}}}$

${\mathcal {L}}\{\cos(at)\}(s)={\frac {s}{s^{2}+a^{2}}}$

${\mathcal {L}}\{\sinh(at)\}(s)={\frac {a}{s^{2}-a^{2}}}$

${\mathcal {L}}\{\cosh(at)\}(s)={\frac {s}{s^{2}-a^{2}}}$

${\mathcal {L}}\{\ln(at)\}(s)=-{\frac {\gamma +\ln(s)-\ln(a)}{s}}$ waarbij γ staat voor de constante van Euler.

Laplacegetransformeerden van speciale functies

• Besselfuncties:

${\mathcal {L}}\left\{J_{0}(at)\right\}(s)={\frac {1}{\sqrt {s^{2}+a^{2}}}}$

${\mathcal {L}}\left\{J_{n}(at)\right\}(s)={\frac {({\sqrt {s^{2}+a^{2}}}-s)^{n}}{a^{n}{\sqrt {s^{2}+a^{2}}}}}$

• Errorfuncties:

${\mathcal {L}}\left\{\operatorname {erf} (at)\right\}(s)={\tfrac {1}{s}}e^{{\frac {1}{4}}s^{2}a^{-2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {s}{2a}}\right)$

• Sinus-, cosinus- en exponentiële integraal:

${\mathcal {L}}\left\{\operatorname {Si} (at)\right\}(s)={\tfrac {1}{s}}\arctan \left({\frac {a}{s}}\right)$

${\mathcal {L}}\left\{\operatorname {Ci} (at)\right\}(s)={\tfrac {1}{2s}}\ln \left({\frac {s^{2}+a^{2}}{a^{2}}}\right)$

${\mathcal {L}}\left\{\operatorname {Ei} (at)\right\}(s)={\tfrac {1}{s}}\ln \left({\frac {s+a}{a}}\right)$

• Stapfunctie:

${\mathcal {L}}\left\{u(t-a)\right\}(s)={\tfrac {1}{s}}e^{-as}$

• Dirac-deltafunctie:

${\mathcal {L}}\{\delta (t)\}(s)=1$

${\mathcal {L}}t\{\delta (t-a)\}(s)=e^{-as}$

• Entierfunctie:

${\mathcal {L}}\left\{\left\lfloor {\frac {t}{a}}\right\rfloor \right\}(s)={\frac {e^{-as}}{s(1-e^{-as})}}$

met $\lfloor x\rfloor$ de entierfunctie, dus het grootste gehele getal dat kleiner of gelijk is aan x.

Verband met differentiaalvergelijkingen

Nemen we de volgende differentiaalvergelijking als voorbeeld (x is een bekende functie):

$a\,y''+b\,y'+c\,y=A\,x'+B\,x$,

we transformeren de beide leden, waarbij alle beginvoorwaarden nul worden gekozen (de zogenaamde nultoestand, of zero state):

$a\,s^{2}\,Y\!(s)+b\,s\,Y\!(s)+c\,Y\!(s)=A\,s\,X\!(s)+B\,X\!(s)$,

waaruit volgt:

$Y\!(s)=H\!(s)X\!(s)={\frac {A\,s+B}{a\,s^{2}+b\,s+c}}X\!(s)$

hierbij is H(s) de overdrachtsfunctie. Aangezien x een bekende functie is, is ook zijn laplacegetransformeerde bekend, en daarmee ook de getransformeerde van y, Y(s). We berekenen de inverse van Y(s), en vinden de gezochte oplossing y(t).

Maar ook indien de beginvoorwaarden niet nul zijn kan een lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten via de laplacetransformatie worden opgelost. Voorbeeld:

$y'(t)+4\,y(t)=8$

met als beginvoorwaarde: $y(0)=1$.

De laplacetransformatie levert:

$s\,Y\!(s)-1+4\,Y\!(s)={\frac {8}{s}}$

Door hieruit Y(s) af te zonderen, en vervolgens de inverse laplacetransformatie te nemen vindt men de oplossing y(t):

$y(t)=2-e^{-4t}$

Zie ook

• Inverse laplacetransformatie
• Fouriertransformatie