Liouville-getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een Liouville-getal een reëel getal met de eigenschap dat voor elk positief geheel getal , er gehele getallen en bestaan, met en zodanig dat

In 1844 bewees Joseph Liouville dat alle Liouville-getallen transcendent zijn. Hiermee gaf hij ook het eerste bewijs van het bestaan van transcendente getallen.

Het bestaan van Liouville-getallen[bewerken | brontekst bewerken]

De volgende constructie laat zien dat Liouville-getallen inderdaad bestaan.

Zij een geheel getal, en een rij met voor alle , en zodat er oneindig veel getallen zijn waarvoor geldt dat . Definieer het getal door

In het speciale geval waarin en voor alle , wordt de uitkomst hiervan de constante van Liouville genoemd.

Uit de definitie volgt dat de representatie van in grondtal gegeven wordt door:

Aangezien de representatie van in het grondtal geen repeterend gedeelte heeft, volgt hieruit dat irrationaal is. Voor elk rationaal getal geldt dus dat .

Definieer nu voor elk positief geheel getal en door

Dan geldt:

De laatste gelijkheid volgt uit het feit dat

Hieruit kunnen we concluderen dat elke op deze manier geconstrueerde een Liouville-getal is.

Uit deze constructie volgt ook meteen dat de verzameling van Liouville-getallen overaftelbaar is. Neem bijvoorbeeld , dan komt elke rij van cijfers tussen 0 en 9 waar oneindig veel cijfers niet nul zijn overeen met een uniek Liouville-getal. Met een diagonaalargument kan men dan eenvoudig laten zien dat deze deelverzameling van de Liouville-getallen overaftelbaar is, en dus ook de gehele verzameling van Liouville-getallen.

Irrationaliteit[bewerken | brontekst bewerken]

Het blijkt dat het getal , waarin en gehele getallen zijn met , niet kan voldoen aan de ongelijkheden waardoor de Liouville-getallen gedefinieerd zijn. Aangezien elk rationaal getal op dergelijke wijze als geschreven kan worden, zal hieruit volgen dat geen enkel Liouville-getal rationaal is.

Iets specifieker blijkt dat als een geheel getal is waarvoor geldt dat , er dan geen enkel tweetal gehele getallen met bestaat dat tegelijkertijd aan beide van de twee volgende ongelijkheden voldoet:

Stel en zijn gehele getallen met . Dan geldt:

Als , is , waardoor niet aan de eerste ongelijkheid voldoet. Als , geldt, vanwege het feit dat en alle geheel zijn, dat . Hieruit volgt dat

Omdat , volgt hieruit dat

,

waaruit volgt dat niet aan de tweede ongelijkheid voldoet.

Hieruit concluderen we dat er als , er geen tweetal bestaat dat aan beide ongelijkheden voldoet. Rationale getallen kunnen dus geen Liouville-getallen zijn; dus alle Liouville-getallen zijn irrationaal.

Transcendentie[bewerken | brontekst bewerken]

Alle Liouville-getallen zijn transcendent. Het bewijs hiervan begint met een lemma dat een bepaalde eigenschap van irrationale algebraïsche getallen beschrijft. Deze eigenschap ontbreekt bij Liouville-getallen, en omdat Liouville-getallen irrationaal zijn, volgt hieruit dat Liouville getallen transcendent zijn.

Lemma

Zij een irrationaal nulpunt van de veelterm van graad met gehele coëfficiënten, dan bestaat er een reëel getal zodanig dat voor alle gehele getallen en met geldt

Bewijs

Zij de maximale waarde van (de absolute waarde van de afgeleide van ) op het interval . Laat de verschillende nulpunten van zijn die ongelijk zijn aan . Kies een getal dat voldoet aan

Stel nu dat er gehele getallen en bestaan die het lemma tegenspreken. Dan geldt

Dus zit in het interval ; is geen nulpunt van en er zijn ook geen nulpunten tussen en . Uit de middelwaardestelling volgt dat er een tussen en bestaat zodat

Aangezien een nulpunt van is, maar niet, is , en dus kunnen we de bovenstaande vergelijking als volgt herschikken:

De polynoom is van de vorm waarin elke geheel is; dus kan geschreven worden als

waarbij de laatste ongelijkheid geldt omdat geen nulpunt is (dus ) en omdat en , en alle geheel zijn.

Dus . Omdat vanwege de definitie van , en vanwege de definitie van , volgt hieruit dat

Dit is een contradictie, dus zulke en kunnen niet bestaan, waarmee het lemma bewezen is.

Bewijs van de bewering

Zij een Liouville-getal. Dan is irrationaal, zoals eerder bewezen is. Stel is algebraïsch van graad , dan bestaat er volgens het lemma een positief reëel getal zodat voor alle gehele getallen en met geldt dat

Zij een positief geheel getal zodanig dat . Stel . Omdat een Liouville-getal is, bestaan er gehele getallen en met zodat

wat het lemma tegenspreekt. Dus elk Liouville-getal is transcendent.

Zie ook[bewerken | brontekst bewerken]