Liouville-getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een Liouville-getal een reëel getal x met de eigenschap dat voor elk positief geheel getal n, er ​​gehele getallen p en q bestaan, waar q > 1 en zodanig dat

In 1844 bewees Joseph Liouville dat alle Liouville-getallen transcendent zijn. Hiermee gaf hij ook het eerste bewijs van het bestaan van transcendente getallen.

Het bestaan van Liouville-getallen[bewerken]

De volgende constructie laat zien dat Liouville-getallen inderdaad bestaan.

Zij b ≥ 2 een geheel getal, en (a1, a2, ...) een rij zodat ak ∈ {0, 1, 2, …, b - 1} ∀k ∈ {1, 2, 3, …}, en zodat er oneindig veel k zijn waarvoor geldt dat ak ≠ 0. Definieer het getal x door

In het speciale geval waar b = 10 en ak = 1 voor alle k wordt de uitkomst hiervan de constante van Liouville genoemd.

Uit de definitie volgt dat de representatie van x in grondtal b gegeven wordt door:

Aangezien de representatie van x is grondtal b geen repeterend gedeelte heeft volgt hieruit dat x irrationaal is. Voor elk rationaal getal p/q geldt dus dat

Definieer nu voor elk positief geheel getal n ≥ 1 qn en pn door

Dan geldt:

De laatste gelijkheid volgt uit het feit dat

Hieruit kunnen we concluderen dat elke op deze manier geconstrueerde x een Liouville-getal is.

Uit deze constructie volgt ook meteen dat de verzameling van Liouville-getallen overaftelbaar is. Neem bijvoorbeeld b = 10, dan komt elke rij van cijfers tussen 0 en 9 waar oneindig veel cijfers niet nul zijn overeen met een uniek Liouville-getal. Met een diagonaalargument kan men dan eenvoudig laten zien dat deze deelverzameling van de Liouville-getallen overaftelbaar is, en dus ook de gehele verzameling van Liouville-getallen.

Irrationaliteit[bewerken]

We zullen laten zien dat het getal x = c/d, waar c en d gehele getallen zijn met d > 0, niet kan voldoen aan de ongelijkheden waardoor de Liouville-getallen gedefinieerd zijn. Aangezien elk rationaal getal op dergelijke wijze als c/d geschreven kan worden, zal hieruit volgen dat geen enkel Liouville-getal rationaal is.

Iets specifieker zullen we laten zien dat als n een geheel getal is waarvoor geldt dat 2n-1 > d, dat er dan geen enkel tweetal gehele getallen (p, q) met q > 1 bestaat dat tegelijkertijd aan beide van deze twee ongelijkheden voldoet:

Stel p en q zijn gehele getallen met q > 1. Dan geldt:

Als cq - dp = 0, dan is |x - p/q| = 0, waardoor (p, q) niet aan de eerste ongelijkheid voldoet. Als |cq - dp| > 0, dan mogen we vanwege het feit dat c, d, p en q alle geheel zijn, beweren dat |cq - dp| ≥ 1. Hieruit volgt dat

Omdat 2n-1 > d volgt hieruit dat

waaruit volgt dat (p, q) niet aan de tweede ongelijkheid voldoet.

Hieruit concluderen we dat er als 2n-1 > d geen tweetal (p, q) bestaat dat aan beide ongelijkheden voldoet. Rationale getallen kunnen dus geen Liouville-getallen zijn, dus alle Liouville-getallen zijn irrationaal.

Transcendentie[bewerken]

Alle Liouville-getallen zijn transcendent. Het bewijs hiervan begint met een lemma dat een bepaalde eigenschap van irrationale algebraïsche getallen beschrijft. Deze eigenschap ontbreekt bij Liouville-getallen, en omdat Liouville-getallen irrationaal zijn, volgt hieruit dat Liouville getallen transcendent zijn.

Lemma: zij α een irrationaal nulpunt van een zekere veelterm f van graad n > 0 met gehele coëfficiënten, dan bestaat er een reëel getal A > 0 zodanig dat voor alle gehele getallen p, q met q > 0 geldt dat

Bewijs van het lemma: Zij M de maximale waarde van |f'(x)| (de absolute waarde van de afgeleide van f) op het interval [α-1, α+1]. Laat α1, α2, ..., αm de verschillende nulpunten van f zijn die ongelijk zijn aan α. Kies een getal A > 0 dat voldoet aan

Stel nu dat er gehele getallen p en q bestaan die het lemma tegenspreken. Dan geldt

Dus p/q zit in het interval [α-1, α+1], p/q is geen nulpunt van f en er zijn ook geen nulpunten tussen p/q en α. Uit de middelwaardestelling volgt dat er een x0 tussen p/q en α bestaat zodat

Aangezien α een nulpunt van f is maar p/q niet, is |f'(x0)| > 0 en dus kunnen we de bovenstaande vergelijking als volgt herschikken:

f is van de vorm waar elke ci geheel is, dus we kunnen |f(p/q)| schrijven als

waarbij de laatste ongelijkheid geldt omdat p/q geen nulpunt is (dus |f(p/q)| > 0) en omdat p, q en alle ci geheel zijn.

Dus |f(p/q)| ≥ 1/qn. Omdat f'(x0)M vanwege de definitie van M, en 1/M > A vanwege de definitie van A, volgt hieruit dat

Dit is een contradictie, dus zulke p en q kunnen niet bestaan, wat het lemma bewijst.

Bewijs van de bewering: zij x een Liouville-getal. Dan is x irrationaal, zoals eerder op deze pagina bewezen is. Stel x is algebraïsch van graad n, dan bestaat er volgens het lemma een positief reëel getal A zodat voor alle gehele getallen p, q met q > 1 geldt dat

Zij r een positief geheel getal zodanig dat 1/2rA. Stel m = r + n. Omdat x een Liouville-getal is bestaan er gehele getallen a en b met b > 1 zodat

wat het lemma tegenspreekt. Dus elk Liouville-getal is transcendent.

Zie ook[bewerken]