Monoïdale categorie
In de categorietheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een monoïdale categorie (of tensorcategorie) een categorie C, die is uitgerust met een bifunctor
- ⊗ : C × C → C
die associatief is ("upto" (tot) een natuurlijk isomorfisme), en een object I, die zowel een linker- en rechter identiteit voor ⊗ (wederom, "upto" (tot) natuurlijke isomorfisme). De geassocieerde natuurlijke isomorfismen zijn onderworpen aan bepaalde coherentievoorwaarden, die ervoor zorgen dat alle relevante diagrammen commuteren. Monoïdale categorieën zijn dus een losse categorisch analogon van de monoïden in de abstracte algebra.
Het gewone tensorproduct tussen vectorruimten, abelse groepen, R-modulen of R-algebra dient om de geassocieerde categorieën in monoïdale categorieën te veranderen. Monoïdale categorieën kunnen worden gezien als een veralgemening van deze en andere voorbeelden.
In de categorietheorie kunnen monoïdale categorieën worden gebruikt om de notie van een monoïde object een bijbehorende actie op de objecten van de categorie te definiëren. Ze worden ook gebruikt in de definitie van een verrijkte categorie.
Monoïdale categorieën hebben talrijke toepassingen buiten de eigenlijke categorietheorie. Ze worden gebruikt om modellen voor het multiplicatieve fragment van de intuïtionistische lineaire logica te definiëren. Zij vormen ook de wiskundige fundering voor de topologische orde in gecondenseerde materie. Gevlochten monoïdale categorieën hebben toepassingen in de kwantumveldentheorie en de snaartheorie.
Referenties
- Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician (Categorieën voor de werkende wiskundige), Graduate Texts in Mathematics 5, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1997. ISBN 0-387-98403-8