Orthopool

In de projectieve meetkunde is de orthopool van een lijn ten opzichte van een driehoek een speciaal punt dat met de onderstaande definitie geconstrueerd kan worden. De term is geïntroduceerd door J. Neuberg

Definitie

Gegeven ΔABC en de lijn $\ell$. De loodlijnen uit A, B en C op $\ell$ snijden deze lijn in resp. A', B' en C'. De lijnen door A' loodrecht op BC, door B' loodrecht op AC en door C' loodrecht op AB gaan door één punt. Dit punt is de bedoelde orthopool.

Eigenschappen

• De orthopool van $\ell$ ligt op de rechte van Wallace loodrecht op $\ell$.
• Snijdt $\ell$ de omgeschreven cirkel, dan ligt de orthopool op de twee rechten van Wallace van de snijpunten van $\ell$ met de omgeschreven cirkel.
• De orthopool van een lijn door het middelpunt van de omgeschreven cirkel ligt op de negenpuntscirkel. Elke voetpuntscirkel van een punt op een dergelijke lijn gaat door de orthopool.
• De orthopolen van de lijnen van een volledige vierzijde ten opzichte van de driehoeken gevormd door de andere drie zijn collineair.
• De orthopolen van een lijn ten opzichte van de vier driehoeken die je kunt vormen met hoekpunten van een vierhoek zijn collineair.
• De orthopolen van een lijn ten opzichte van de vier driehoeken die je kunt vormen met zijden uit een volledige vierzijde zijn collineair.
• De macht van de orthopool van $\ell$ ten opzichte van voetpuntscirkels van punten P op $\ell$ is constant (de Stelling van Lemoyne).

Bronnen, noten en/of referenties

• Dixit, A. en Grinberg, D. (2004) "Orthopoles and the Pappus Theorem", Forum Geometricorum, vol. 4 pp. 53--59, beschikbaar via deze link.
• Gallatly, W. (1913) Modern Geometry of the Triangle, Londen: Hodgson, hst. VI.